[논문 리뷰] Computing the Mostar index in networks with applications to molecular graphs

Niko Tratnik|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 08.

Graph theory and applications참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 부여된 그래프에서 Mostar 지수를 계산하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 간소화된 간선 분할 기반으로 가중치가 부여된 몫 그래프로 그래프를 분해함으로써 벤젠계 시스템에 대해 비선형 시간 복잡도로 계산을 가능하게 한다. 이 접근법은 벤젠계 시스템과 풀러렌 조각을 포함한 분자 그래프에서 정확한 결과를 도출하는 데 효과적으로 적용되며, 특정 예시에서 검증되었다.

ABSTRACT

Recently, a bond-additive topological descriptor, named as the Mostar index, has been introduced as a measure of peripherality in networks. For a connected graph $G$, the Mostar index is defined as $Mo(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} |n_u(e) - n_v(e)|$, where for an edge $e=uv$ we denote by $n_u(e)$ the number of vertices of $G$ that are closer to $u$ than to $v$ and by $n_v(e)$ the number of vertices of $G$ that are closer to $v$ than to $u$. In this paper, we generalize the definition of the Mostar index to weighted graphs and prove that the Mostar index of a weighted graph can be computed in terms of Mostar indices of weighted quotient graphs. As a consequence, we show that the Mostar index of a benzenoid system can be computed in sub-linear time with respect to the number of vertices. Finally, our method is applied to some benzenoid systems and to a fullerene patch.

연구 동기 및 목표

• 무게가 부여된 그래프에서 Mostar 지수를 계산하기 위한 일반화된 프레임워크를 개발하여, 무게가 없는 분자 그래프를 초월한 적용 가능성을 확장한다.
• 특히 벤젠계 시스템과 같은 복잡한 구조를 가진 대규모 분자 네트워크에서 Mostar 지수를 계산하는 데 발생하는 계산적 과제를 해결한다.
• 그래프 몫화 및 간선 분할 기법을 활용하여, 벤젠계 시스템에 대해 Mostar 지수의 비선형 시간 계산을 가능하게 한다.
• 더 간단한 몫 구조로 분해함으로써 다양한 분자 그래프, 특히 풀러렌과 나노콘에 적용 가능한 확장 가능한 방법을 제공한다.

제안 방법

• 표준 정의에 정점 및 간선 가중치를 통합하여 가중치가 부여된 그래프로의 Mostar 지수를 일반화한다: $ Mo(G,w,w') = \sum_{e=uv} w'(e) \left| n_u(e) - n_v(e) \right| $, 여기서 $ n_u(e) $ 는 정점 $ u $ 에 비해 $ v $ 에 더 가까운 정점의 가중치 합이다.
• 구조적 성질을 유지하는 데 필요한 $ \Theta^* $-분할을 사용하여 더 간소화된 분할을 정의한다.
• 각 분할 클래스 $ F_i $ 에 대해, 정점이 $ \Theta^* $-클래스를 나타내고 간선 가중치가 원본 그래프의 가중치에서 유도된 가중치가 부여된 가중치가 부여된 몫 그래프 $ G/F_i $ 를 구성한다.
• 원본 그래프의 Mostar 지수가 각 가중치가 부여된 몫 그래프의 Mostar 지수의 합과 동일하다는 것을 증명한다: $ Mo(G) = \sum_i Mo(G_i, \lambda_i, \lambda_i') $.
• 벤젠계 시스템에 이 방법을 적용하기 위해 세 개의 가중치가 부여된 몫 트리로 분해하여, 재귀적 또는 폐쇄형 평가를 통해 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 풀러렌 조각에 대해 검증을 수행하기 위해 간선을 두 개의 클래스로 분할하고, 몫 그래프를 계산한 후 그 Mostar 지수를 합하여 총 지수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치가 부여된 그래프에 대해 몫 그래프로의 분해를 통해 Mostar 지수를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 제안된 몫 기반 방법이 벤젠계 시스템에서 Mostar 지수의 비선형 시간 계산을 가능하게 하는가?
• RQ3 비부분-큐브 분자 그래프, 예를 들어 비순환적인 $ \Theta $-관계를 가진 풀러렌 조각에 대해 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 이 방법은 페닐렌 또는 $ C_4C_8 $ 시스템과 같은 다른 분자 그래프 클래스로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 특정 풀러렌 조각, 즉 $ C_{60} $ 에서 파생된 것의 Mostar 지수는 얼마이며, 몫 분해를 통해 효율적으로 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 가중치가 부여된 그래프의 Mostar 지수는 간소화된 $ \Theta^* $-분할에서 유도된 가중치가 부여된 몫 그래프의 Mostar 지수의 합으로 계산될 수 있다.
• 하나의 선형 벤젠계 시스템에 대해 $ h $ 개의 육각형이 있을 경우, Mostar 지수는 $ 27h^4 - 18h^3 - 9h^2 $ 로 계산되며, 이는 이전 결과와 일치한다.
• 다수의 가중치가 부여된 몫 트리 세 개를 사용하여 분지형 벤젠계 시스템의 Mostar 지수를 496으로 계산하였으며, 이는 방법의 정확성을 확인한다.
• 특정 $ C_{60} $ 에서 유도된 풀러렌 조각의 Mostar 지수는 150으로 계산되었으며, 이는 두 개의 몫 그래프를 사용하여 효율적으로 도출되었고, 그 중 하나는 지수 0을 기여하였다.
• 이 방법은 문제를 더 작은 몫 구조로 환원함으로써, 벤젠계 시스템에서 Mostar 지수의 비선형 시간 계산을 가능하게 한다.
• 이 방법은 페닐렌 및 $ C_4C_8 $ 시스템과 같은 다른 분자 그래프로도 확장 가능하며, 이들에 대한 지수 계산을 위해 네 개의 가중치가 부여된 몫 트리가 필요하다.