[논문 리뷰] Computing the partition function of the Sherrington-Kirkpatrick model is hard on average

David Gamarnik, Eren C. Kızıldağ|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 13.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 결합과 난수 외부 필드를 가진 셰링스턴-키크래프트 스핀 거품 모델에서 분할 함수를 정확하게 계산하는 평균적 계산 난이도를 확립한다. 유한 정밀도 및 실수 값 계산 모델을 사용하여, P = #P가 아니면, 비균일한 분포의 입력에 대해 정확한 분할 함수를 다항 시간 내에 계산할 수 없다는 것을 증명한다. 이는 무작위 자기환원성, 리스트 디코딩, 그리고 로그 정규 분포에 대한 총 변동 거리 바OUNDS를 활용한다.

ABSTRACT

We establish the average-case hardness of the algorithmic problem of exact computation of the partition function associated with the Sherrington-Kirkpatrick model of spin glasses with Gaussian couplings and random external field. In particular, we establish that unless $P= \#P$, there does not exist a polynomial-time algorithm to exactly compute the partition function on average. This is done by showing that if there exists a polynomial time algorithm, which exactly computes the partition function for inverse polynomial fraction ($1/n^{O(1)}$) of all inputs, then there is a polynomial time algorithm, which exactly computes the partition function for all inputs, with high probability, yielding $P=\#P$. The computational model that we adopt is {\em finite-precision arithmetic}, where the algorithmic inputs are truncated first to a certain level $N$ of digital precision. The ingredients of our proof include the random and downward self-reducibility of the partition function with random external field; an argument of Cai et al. \cite{cai1999hardness} for establishing the average-case hardness of computing the permanent of a matrix; a list-decoding algorithm of Sudan \cite{sudan1996maximum}, for reconstructing polynomials intersecting a given list of numbers at sufficiently many points; and near-uniformity of the log-normal distribution, modulo a large prime $p$. To the best of our knowledge, our result is the first one establishing a provable hardness of a model arising in the field of spin glasses. Furthermore, we extend our result to the same problem under a different {\em real-valued} computational model, e.g. using a Blum-Shub-Smale machine \cite{blum1988theory} operating over real-valued inputs.

연구 동기 및 목표

• 셰링스턴-키크래프트 스핀 거품 모델에서 분할 함수를 정확하게 계산하는 평균적 계산 복잡도를 확립하는 것.
• 유한 정밀도 산술 하에서, 다항 시간 알고리즘이 비균일한 분포의 입력에 대해 분할 함수를 정확하게 계산할 수 없음을 보이는 것.
• 결과를 실수 값 블룸-슈브-스마이트 계산 모델으로 확장하는 것.
• 일정 비율의 입력에서 성공하면 모든 입력에서 성공하는 것으로 이어지며, 이는 P를 #P로 축소시킴을 증명하는 것.
• 복잡도 이론적 접근을 사용하여 스핀 거품 모델에 대해 처음으로 엄밀한 난이도 결과를 제공하는 것.

제안 방법

• 난수 외부 필드를 가진 분할 함수의 무작위 및 하향 자기환원성을 활용.
• 수단 [Sud96]의 리스트 디코딩 알고리즘을 사용하여 많은 점을 통과하는 다항식을 복원.
• 볼록 편향 하에서 로그 정규 분포에 대한 총 변동 거리 바OUNDS를 사용.
• 다항식 복원에서 오류 수정을 위해 버렉프-웰치 알고리즘을 활용.
• 다른 매개변수 하에서 분포를 총 변동 거리로 연결하기 위해 커플링 추론을 사용.
• 유한 정밀도 절삭과 복잡도 이론적 감소를 조합하여 평균적 난이도를 확립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 정밀도 산술 하에서, SK 모델 분할 함수의 정확한 계산은 평균적으로 어려운가?
• RQ2 입력의 1/n^O(1) 비율에서 성공하는 다항 시간 알고리즘이 모든 입력에서 성공하도록 확대 가능할 수 있으며, 이는 P = #P를 의미하는가?
• RQ3 평균적 난이도 결과는 블룸-슈브-스마이트 기계와 같은 실수 값 계산 모델로도 확장되는가?
• RQ4 분할 함수의 자기환원성이 난이도 확대에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 큰 소수 모듈로에서 로그 정규 분포의 근접 균일성은 증명에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 가우시안 결합과 난수 외부 필드를 가진 SK 모델의 분할 함수는 유한 정밀도 산술 하에서 평균적으로 계산하기 어려운 편이다.
• 만약 다항 시간 알고리즘이 입력의 1/n^O(1) 비율에서 분할 함수를 정확하게 계산한다면, P = #P임을 의미한다.
• 유사한 난이도 결과는 실수 값 블룸-슈브-스마이트 모델에서도 성립하며, 입력의 3/4 + 1/n^O(1) 비율에서 성공할 경우를 전제로 한다.
• 증명은 무작위 자기환원성과 볼록 편향 하에서 로그 정규 분포에 대한 총 변동 거리 바OUNDS에 의존한다.
• 저자들은 복잡도 이론적 기법을 사용하여 스핀 거품 모델에 대해 처음으로 엄밀한 평균적 난이도 결과를 확립한다.
• 결과는 유한 정밀도 및 실수 값 계산 모델을 포함한 다양한 계산 모델에서 강건하다.