[논문 리뷰] Computing the spectral action for fuzzy geometries: from random noncommutative geometry to bi-tracial multimatrix models

Carlos I. Pérez-Sánchez|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 31.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 비환류 기하학을 사용하여 퍼지 기하학에서 스펙트럼 작용을 계산하며, $2n$-차원 디랙 연산자에서 다항식 작용을 갖는 이중-트레이스 다중행렬 모델을 유도한다. 2차원에서는 6차까지, 4차원에서는 4차까지 스펙트럼 작용의 명시적 공식을 제공하며, $N$-독립적이고 자기수반인 비환류 다항식을 구성하기 위해 고리 다이어그램을 사용하여 자유 확률론적 대-$N$ 근사가 가능하도록 한다.

ABSTRACT

A fuzzy geometry is a certain type of spectral triple whose Dirac operator crucially turns out to be a finite matrix. This notion was introduced in [J. Barrett, J. Math. Phys. 56, 082301 (2015)] and accommodates familiar fuzzy spaces like spheres and tori. In the framework of random noncommutative geometry, we use Barrett's characterization of Dirac operators of fuzzy geometries in order to systematically compute the spectral action $S(D)= \mathrm{Tr} f(D)$ for $2n$-dimensional fuzzy geometries. In contrast to the original Chamseddine-Connes spectral action, we take a polynomial $f$ with $f(x) o \infty$ as $ |x| o\infty$ in order to obtain a well-defined path integral that can be stated as a random matrix model with action of the type $S(D)=N \cdot \mathrm{tr}\, F+ extstyle\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr} \,B_i $, being $F,A_i $ and $B_i $ noncommutative polynomials in $2^{2n-1}$ complex $N imes N$ matrices that parametrize the Dirac operator $D$. For arbitrary signature---thus for any admissible KO-dimension---formulas for 2-dimensional fuzzy geometries are given up to a sextic polynomial, and up to a quartic polynomial for 4-dimensional ones, with focus on the octo-matrix models for Lorentzian and Riemannian signatures. The noncommutative polynomials $F,A_i $ and $B_i$ are obtained via chord diagrams and satisfy: independence of $N$; self-adjointness of the main polynomial $F$ (modulo cyclic reordering of each monomial); also up to cyclicity, either self-adjointness or anti-self-adjointness of $A_i $ and $B_i $ simultaneously, for fixed $i$. Collectively, this favors a free probabilistic perspective for the large-$N$ limit we elaborate on.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 비환류 기하학을 사용하여 $2n$-차원 퍼지 기하학에서 스펙트럼 작용 $S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$를 체계적으로 계산하는 것.
• 다항식 $f$를 선택함으로써 경로적분이 잘 정의되도록 하여 $f(x) \to \infty$가 되도록 하여 수렴성을 확보하는 것.
• 스펙트럼 작용을 $N \cdot \mathrm{tr}\,F + \sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$ 형태의 랜덤 행렬 모델로 표현하는 것. 여기서 $F, A_i, B_i$는 $N \times N$ 행렬에서의 비환류 다항식이다.
• 유도된 비환류 다항식이 $N$-독립적이며, 순환 재정렬에 대해 자기수반 또는 반자기수반 성질을 만족함을 확립하는 것.
• 유리한 대수적 및 해석적 성질을 갖는 모델을 구성함으로써 자유 확률론을 통한 대-$N$ 근사의 기초를 다지는 것.

제안 방법

• 퍼지 기하학에서 디랙 연산자에 대한 Barrett의 특성화를 사용하여 $D$를 $2^{2n-1}$개의 복소 $N \times N$ 행렬로 매개변수화하는 것.
• 고리 다이어그램을 적용하여 $\mathrm{Tr}\,D^m$와 같은 $D$의 거듭제곱의 추적을 체계적으로 계산하는 것. 이는 이중-트레이스 및 단일-트레이스 기여로 분해한다.
• 스펙트럼 작용을 단일-트레이스 항 $N \cdot \mathrm{tr}\,F$와 이중-트레이스 항 $\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$의 합으로 유도하는 것. 여기서 $F, A_i, B_i$는 비환류 다항식이다.
• $F$의 $N$-독립성과 자기수반성(순환 재정렬에 대해), 각 $i$에 대해 $A_i$와 $B_i$의 순환 호환성에 따른 자기수반 또는 반자기수반 성질을 확보하여 대-$N$ 근사에서 자유 확률론이 유리하도록 하는 것.
• 2차원 및 4차원에서 $\mathrm{Tr}\,D^2$, $\mathrm{Tr}\,D^4$, $\mathrm{Tr}\,D^6$의 명시적 공식을 계산하며, 로렌츠 및 리만니안 서명을 포함한다.
• 기본 행렬의 감마 행렬 추적 항등식과 행렬 추적을 사용하여 작용을 고리 다이어그램의 합으로 줄이고, 정수 계수를 갖는 표현으로 줄인다. 예를 들어, 6차 항의 $\mathrm{I}$-다이어그램의 경우 62개의 항이 포함된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 비환류 기하학을 사용하여 $2n$-차원 퍼지 기하학에서 스펙트럼 작용을 어떻게 체계적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 다항식 $f$에 대해 $f(x) \to \infty$가 $|x| \to \infty$일 때, 스펙트럼 작용 $S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$의 구조는 어떻게 되며, 이는 잘 정의된 경로적분을 보장하는가?
• RQ3 고리 다이어그램은 $N \times N$ 행렬에서의 비환류 다항식의 형태로 $\mathrm{Tr}\,D^m$의 추적 구조를 어떻게 코딩하는가?
• RQ4 유도된 다항식 $F, A_i, B_i$는 어떤 대수적 및 해석적 성질을 만족하는가? 특히 $N$-독립성과 자기수반성에 대해 어떻게 되는가?
• RQ5 유도된 행렬 모델의 구조를 바탕으로 대-$N$ 근사가 자유 확률론을 통해 분석될 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 퍼지 기하학에서 스펙트럼 작용은 6차 다항식까지 명시적으로 계산되었으며, 일반 서명에서 $\mathrm{Tr}\,D^2$, $\mathrm{Tr}\,D^4$, $\mathrm{Tr}\,D^6$의 공식이 도출되었다.
• 4차원 퍼지 기하학에서는 스펙트럼 작용이 4차 다항식까지 계산되었으며, 리만니안 및 로렌츠 서명 모두에서 $\mathrm{Tr}\,D^2$와 $\mathrm{Tr}\,D^4$의 명시적 표현이 존재한다.
• 작용은 이중-트레이스 다중행렬 모델 형태로 표현된다: $S(D) = N \cdot \mathrm{tr}\,F + \sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$, 여기서 $F, A_i, B_i$는 $2^{2n-1}$개의 복소 $N \times N$ 행렬에서의 비환류 다항식이다.
• 비환류 다항식 $F, A_i, B_i$는 $N$-독립적이며, 순환 재정렬에 대해 자기수반 또는 반자기수반 성질을 만족한다. 이는 자유 확률론적 대-$N$ 근사에 유리하다.
• 고리 다이어그램은 $D$의 거듭제곱의 추적을 계산하는 체계적인 조합론적 프레임워크를 제공하며, 정수 계수를 갖는다. 예를 들어, 6차 항의 $\mathrm{I}$-다이어그램의 경우 계수 62가 포함된다.
• 단일-트레이스 기여 $\mathcal{S}_6$는 모든 6점 고리 다이어그램의 합으로부터 얻어지며, 각 다이어그램의 기여는 추적 항등식과 행렬 수축을 통해 계산된다.