[논문 리뷰] Computing tropical varieties over fields with valuation

Thomas Markwig, Yue Ren|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 06.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비자명한 평가를 가진 체 위에서 트로피컬 다양체를 계산하는 방법을 제시한다. 문제를 거칠게는 거칠지 않은 평가를 가진 멱급수 환 위에서의 트로피컬 다양체 계산으로 환원하기 위해 업그레이드 구축 기법을 사용한다. 주요 기여는 동차 아이디얼에 대해 유한 시간 알고리즘을 제공하는 것으로, 업그레이드된 아이디얼이 계산 가능한 부분환에 있을 경우, 표준 그뢰브너 기저 도구를 사용하여 효율적으로 계산할 수 있고, 동차화를 피할 수 있다.

ABSTRACT

We show how tropical varieties of ideals I over a field K with non-trivial valuation can be traced back to tropical varieties of ideals in R[[t]][x] over some dense subring R in its ring of integers. Moreover, for homogeneous ideals, we present algorithms on how the latter can be computed in finite time, provided that generators are polynomial in t. While doing so, we also comment on the computation of the Groebner polytope structure and p-adic Groebner bases using our framework. All algorithms solely rely on existing standard basis techniques.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 평가를 가진 체 위에서 트로피컬 다양체를 계산하기 위한 알고리즘 프레임워크를 개발하기.
• 평가가 있는 체 위에서 트로피컬 다양체의 계산을 평가가 없는 멱급수 환 위에서의 트로피컬 다양체 계산으로 환원하기.
• 평가환의 계산 가능한 부분환으로 업그레이드함으로써 동차 아이디얼에 대해 유한 시간 계산을 가능하게 하기.
• 이전 방법에서 사용된 동차화 및 비동차화 단계를 피하기.
• 이 프레임워크 내에서 $p$-adic 그뢰브너 기저를 계산하기 위한 구조적 방법 제공하기.

제안 방법

• 비자명한 평가를 가진 완비 체 $K$ 위의 아이디얼 $I \unlhd K[x]$를 통일된 조건자 $p$를 사용하여 아이디얼 $\pi^{-1}I \unlhd R[[t]][x]$로 업그레이드하기.
• 사상 $R[[t]][x] \to \mathcal{O}_K[x]$ 에서 $t \mapsto p$ 를 통해 아이디얼의 구조를 이전하기.
• 가중치 순서 하에서 트로피컬 다양체 $\mathcal{T}_\nu(I)$ 가 트로피컬 다양체 $\mathcal{T}(\pi^{-1}I)$ 와 동형임을 보이며, 초기 아이디얼을 유지함.
• 가중치 벡터 $(-1,w)$ 와 호환되는 단항식 순서를 사용하여 $R[[t]][x]$ 내에서 표준 그뢰브너 기저 기법을 적용하기.
• 생성자들이 $R[[t]][x]$ 내에 있을 때 $\pi^{-1}I$ 를 $I' : p^\infty$ 를 통해 계산하기, 여기서 $I' = \langle g_1', \dots, g_k' \rangle + \langle p-t \rangle$.
• Singular 라이브러리 `tropical.lib` 내에 `gfan.lib` 를 사용하여 볼록 기하 계산을 수행하는 알고리즘 구현하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 평가를 가진 체 위에서 트로피컬 다양체는 멱급수 환으로의 환원을 통해 계산될 수 있는가?
• RQ2 아이디얼 $I \unlhd K[x]$ 의 트로피컬 다양체는 그 전이상수 $\pi^{-1}I \unlhd R[[t]][x]$ 의 트로피컬 다양체로부터 어떻게 복원할 수 있는가?
• RQ3 만약 $\pi^{-1}I$ 가 $R[t,x]$ 위에서 생성된다면, 동차 아이디얼에 대해 트로피컬 다양체를 유한 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ4 평가가 있는 체를 위한 트로피컬화 알고리즘에서 동차화 및 비동차화 단계를 피할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크 내에서 어떻게 $p$-adic 그뢰브너 기저를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 비자명한 평가를 가진 체 위의 아이디얼 $I \unlhd K[x]$ 의 트로피컬 다양체 $\mathcal{T}_\nu(I)$ 는 $R[[t]][x]$ 내의 전이상수 $\pi^{-1}I$ 의 트로피컬 다양체 $\mathcal{T}(\pi^{-1}I)$ 와 동형이다.
• 동차 아이디얼의 경우, $\pi^{-1}I$ 가 $R[t,x]$ 의 원소들에 의해 생성된다면, 표준 그뢰브너 기저 방법을 사용하여 $\mathcal{T}_\nu(I)$ 를 유한 시간 내에 계산할 수 있다.
• 전이상수 $\pi^{-1}I$ 는 $ (\langle g_1', \dots, g_k' \rangle + \langle p-t \rangle) : p^\infty $ 와 같다. 이는 생성자의 업그레이드로부터 알고리즘적으로 구성 가능함을 보여준다.
• 단항식 순서 $>_{(-1,w)}$ 에 대해 아이디얼 $J \unlhd R[[t]][x]$ 의 초기 아이디얼 $\operatorname{in}_{>}(J)$ 는 $p$ 와 $\overline{J}$ 의 정규 표현의 주도항들에 의해 생성된다.
• 알고리즘은 $R[[t]][x]$ 내의 업그레이드된 아이디얼을 직접 다루므로 동차화를 피하며, 계산을 단순화한다.
• 이 프레임워크는 동일한 업그레이드 및 포화 메커니즘을 통해 $p$-adic 그뢰브너 기저 계산을 지원한다.