[논문 리뷰] Concatenated Quantum Codes

Emanuel Knill, Raymond Laflamme|ArXiv.org|1996. 08. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 63

한 줄 요약

이 논문은 물리적 연산의 오차 진폭이 유계인 상황에서, 계층적 오류 복구를 사용하여 임의의 저장 또는 전송 시간과 거리에 대해 논리 큐비트를 고장내기 저항성으로 보호하기 위한 연결된 양자 코드를 소개한다. 주요 결과는 임의의 장기 저장 또는 장거리 전송이 다항수준의 오버헤드로 가능하다는 임계값 정리이다. 이는 원시 게이트의 오차가 최대 $ c\epsilon $이고 메모리/채널 요소의 오차가 최대 $ \epsilon $일 경우 성립한다.

ABSTRACT

One of the main problems for the future of practical quantum computing is to stabilize the computation against unwanted interactions with the environment and imperfections in the applied operations. Existing proposals for quantum memories and quantum channels require gates with asymptotically zero error to store or transmit an input quantum state for arbitrarily long times or distances with fixed error. In this report a method is given which has the property that to store or transmit a qubit with maximum error $ε$ requires gates with error at most $cε$ and storage or channel elements with error at most $ε$, independent of how long we wish to store the state or how far we wish to transmit it. The method relies on using concatenated quantum codes with hierarchically implemented recovery operations. The overhead of the method is polynomial in the time of storage or the distance of the transmission. Rigorous and heuristic lower bounds for the constant $c$ are given.

연구 동기 및 목표

• 장기 저장 또는 장거리 전송 중 양자 상태의 디코herence와 운영 오차로부터 보호하는 문제를 다루기 위해.
• 기존의 양자 오류 수정 방법이 임의의 시간 또는 거리에 대해 점점 더 작은 게이트 오차가 필요로 하는 한계를 극복하기 위해.
• 원시 게이트에 대해 일정한 임계값 오차율이 존재할 경우, 시간 또는 거리와 무관하게 최종 오차를 매우 낮출 수 있음을 보여주기 위해.
• 고장내기 저항성 양자 통신 및 메모리에 대해 시간 또는 거리에 따라 다항수준의 오버헤드가 충분함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 다중 수준에서 오류 전파를 억제하기 위해 계층적 인코딩 및 복구 연산을 사용하는 연결된 양자 코드를 사용한다.
• 운영 오차와 그들이 양자 회로를 통해 전파되는 방식을 모델링하기 위해 초수행자 형식을 적용한다.
• 각 수준에서 오류를 한 번만 수정할 수 있는 코드(예: 오차 다섯 큐비트 코드)를 사용하여 오류 복구를 구현하며, 복구 연산은 원시 게이트 오차의 상수 배수로 유계이다.
• 논리 큐비트가 더 큰 코드 블록에 인코딩되고 각각 하위 수준의 코드로 보호되는 재귀적 인코딩 체계를 적용한다.
• 오차 진폭 기반 분석을 통해 복구 및 복호화 연산 후의 총 오차를 유계로 제한한다.
• 최종 오차 진폭이 $ \epsilon_c = c\epsilon_d + O(\epsilon_d^{e+1}) $ 로 유계임을 입증하며, 여기서 $ \epsilon_d $ 는 물리적 오차이고 $ c $ 는 시간 또는 거리와 무관한 상수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 오차를 가진 물리적 연산만을 사용하여, 임의의 장시간 또는 장거리에 걸쳐 양자 상태를 저장하거나 전송할 수 있는가?
• RQ2 고장내기 저항성 양자 메모리 또는 통신을 달성하기 위해 허용 가능한 원시 양자 게이트의 최대 오차는 얼마인가?
• RQ3 필요한 오버헤드가 시간 또는 거리에 따라 다항수준으로 증가하는가, 지수수준으로 증가하는가?
• RQ4 게이트에 대해 일정한 임계값 오차율이 존재할 경우, 수행 수와 무관하게 오차를 억제할 수 있는가?
• RQ5 오차 유계는 코드 선택 및 복구 절차에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 원시 게이트 오차가 $ c\epsilon $ 이하이고 물리적 메모리/채널 오차가 $ \epsilon $ 이하일 경우, 최종 오차가 $ \leq \epsilon $ 이 되도록 임의의 저장 또는 전송이 가능하다는 임계값이 존재한다.
• 필요한 오버헤드는 시간 또는 거리에 따라 다항수준으로 증가하며, 지수수준으로 증가하지 않아 장기 응용에 실용적이다.
• 오차 다섯 큐비트 코드의 경우, 메서드가 작동하기 위해 $ \epsilon_d \leq 1/20 $ 가 필요하며, $ \epsilon \geq 1/20 $ 일 때 게이트 오차는 $ \epsilon_p \leq 1/400 $ 이하여야 한다.
• $ \epsilon < 1/20 $ 일 경우, 게이트 오차 유계는 $ \epsilon_p \leq \epsilon(1 - 60\epsilon^2)/30 $ 로 표현되며, 이는 더 작은 오차에서는 요구 조건이 더 유연하다는 것을 보여준다.
• 이 방법은 정규 간격으로 배치된 간단한 양자 중계기를 사용하여 고장내기 저항성 양자 통신 및 메모리를 가능하게 한다.
• 에너지 손실 히우리스틱은 약 $ 0.5 \times 10^{-4} $ 수준의 더 낙관적인 오차 임계값을 제안하며, 엄밀한 유계인 $ 2.5 \times 10^{-8} $ 보다 접근성이 높다.