[논문 리뷰] Concentrating Bound States for Kirchhoff type problems in ${\R^3}$ involving critical Sobolev exponents

Yi He, Gongbao Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 01.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 15인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^3$에서 임계 스обอ레프 성장($u^5$)과 국소 최솟값을 가진 잠재력 $V(z)$를 갖는 키르히호프 유형 방정식에 대해 약한 해의 존재성과 집중성을 확립한다. 변분 방법, 특히 최소최대 정리와 루스테르니크-슐레르만 이론을 활용하여, 작은 $\varepsilon > 0$에 대해 해가 $V(z)$의 국소 최솟값 점 주변으로 집중되며, $V$의 최솟값 집합이 비자명한 위상 구조를 가질 경우 다중 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

We study the concentration and multiplicity of weak solutions to the Kirchhoff type equation with critical Sobolev growth \[\left\{\begin{gathered} - \Bigl({\varepsilon ^2}a + \varepsilon b\int_{\R^3} {{{\left| { abla u} ight|}^2}} \Bigr)Δu + V(z)u = f(u) + {u^5}{ ext{in}}{\R^3}, \hfill u \in {H^1}({\R^3}),{ ext{}}u > 0{ ext{in}}{\R^3}, \hfill \\ \end{gathered} ight.\] where $\varepsilon $ is a small positive parameter and $a,b > 0$ are constants, $f \in {C^1}({\R^ +},\R)$ is subcritical, $V:{\R^3} o \R$ is a locally Hölder continuous function. We first prove that for ${\varepsilon_0} > 0$ sufficiently small, the above problem has a weak solution ${u_\varepsilon}$ with exponential decay at infinity. Moreover, ${u_\varepsilon}$ concentrates around a local minimum point of $V$ in $Λ$ as $\varepsilon o 0$. With minimax theorems and Ljusternik-Schnirelmann theory, we also obtain multiple solutions by employing the topology construct of the set where the potential $V\left(z ight)$ attains its minimum.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 임계 비선형성 $u^5$를 갖는 키르히호프 유형 방정식에 대해 약한 해의 존재성을 확립하는 것.
• 작은 매개수 $\varepsilon \to 0^+$일 때 해의 집중 행동을 연구하며, 특히 잠재력 $V(z)$의 국소 최솟값 점 주변에서의 집중을 다루는 것.
• $V(z)$가 최솟값을 취하는 집합의 위상적 구조를 활용하여 해의 다중성을 증명하는 것.
• 3차원에서 임계 스오브레프 지수 5로 인한 컴팩트성 부족을 정밀한 변분 기법을 통해 극복하는 것.

제안 방법

• 에너지 함수 $J_\varepsilon(u) = \frac{\varepsilon^2 a}{2} \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 + \frac{\varepsilon b}{2} \left( \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 \right)^2 + \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^3} V(z) u^2 - \int_{\mathbb{R}^3} F(u) - \frac{1}{6} \int_{\mathbb{R}^3} u^6$ 기반의 변분 프레임워크를 활용하는 것.
• $J_\varepsilon$의 임계점을 찾기 위해 네하리 만델라와 $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 위의 제약 최소화를 사용하는 것.
• $V$가 최솟값을 취하는 집합 $M_\delta \subset \Lambda$에 대해 루스테르니크-슐레르만 카테고리 이론을 적용하여 다중 해를 유도하는 것.
• 균일 추정과 집중-컴팩트니스 추론을 통해 $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 위에서 $J_\varepsilon$의 $(P.S.)$ 조건을 증명하는 것.
• 스케일링을 통한 집중성 확보: $v_\varepsilon(z + y_n) \to \tilde{v}$ in $H^1(\mathbb{R}^3)$ 이고 $\varepsilon y_n \to y \in M$, $V$의 최솟값 집합.
• 집중-컴팩트니스 원리와 $|v_\varepsilon(z + y_n)|^6$의 균일 적분 가능성 조건을 사용하여 무한대에서의 소멸성을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 $\varepsilon > 0$에 대해 $\mathbb{R}^3$에서 임계 성장 $u^5$를 갖는 키르히호프 유형 방정식이 약한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 해는 $\varepsilon \to 0^+$일 때 어떻게 집중되며, 잠재력 $V(z)$와의 관계에서 어디에 집중되는가?
• RQ3 $V(z)$가 최솟값을 취하는 집합의 어떤 위상적 성질이 다중 해의 존재를 이끌어내는가?
• RQ4 큰 매개수 $\lambda$가 없을 때도 임계 성장 $u^5$를 다룰 수 있는가? 비국소 항은 분석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 임계 성장과 함께 작용할 때, 보조 비선형성 $f(u)$는 해의 존재성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $\varepsilon > 0$에 대해 문제는 무한대에서 지수 감쇠를 보이는 최소한 하나의 약한 해 $u_\varepsilon \in H^1(\mathbb{R}^3)$를 갖는다.
• $\varepsilon \to 0^+$일 때 $u_\varepsilon$는 $\Lambda$ 내의 $V(z)$의 국소 최솟값 점 주변으로 집중되며, $\varepsilon y_n \to y \in M$이다. 여기서 $M$은 최솟값 점들의 집합이다.
• 약한 해의 수는 $V$가 최솟값을 취하는 집합 $M_\delta \subset \Lambda$의 루스테르니크-슐레르만 카테고리 수로부터 아래로 유계이다.
• 해의 에너지 수준은 $\varepsilon \to 0^+$일 때 네하리 만델라 위에서 에너지 함수의 하한 $c_{V_0}$로 수렴한다.
• 작은 $\varepsilon$에 대해 $J_\varepsilon$가 $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 위에서 $(P.S.)$ 조건을 만족하여, 최소최대 방법을 통해 임계점의 존재성을 보장한다.
• 스케일링된 수열 $v_\varepsilon(z + y_n)$은 $H^1(\mathbb{R}^3)$에서 0이 아닌 극한 $\tilde{v} \in H^1(\mathbb{R}^3) \setminus \{0\}$로 강한 수렴을 보이며, 이는 집중성을 확인한다.