[논문 리뷰] Concentration and limit behaviors of stationary measures

Wen Huang, Min Ji외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 21.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반 미분방정식의 다중성 백색잡음 편향에 의해 유도되는 포아송-플랑크 방정식의 정적 측도의 농도 및 극한 행동을 조사한다. 리아푸노프 함수와 약한∗-컴 pact성의 기법을 사용하여, 소음이 사라질 때 정적 측도가 비편향 시스템의 전역 초점집합에 지지된 불변 측도로 약한 수렴을 한다고 보여준다; 더 나아가 강한 국소 초점집합/반발집합의 구조가 있을 경우, 소음의 적합성 여부에 따라 한계 측도가 이러한 집합에 농도하거나 피함을 보이며, 이는 확률적 허프 분기 문제에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, we study limit behaviors of stationary measures of the Fokker-Planck equations associated with a system of ordinary differential equations perturbed by a class of multiplicative including additive white noises. As the noises are vanishing, various results on the invariance and concentration of the limit measures are obtained. In particular, we show that if the noise perturbed systems admit a uniform Lyapunov function, then the stationary measures form a relatively sequentially compact set whose weak$^*$-limits are invariant measures of the unperturbed system concentrated on its global attractor. In the case that the global attractor contains a strong local attractor, we further show that there exists a family of admissible multiplicative noises with respect to which all limit measures are actually concentrated on the local attractor; and on the contrary, in the presence of a strong local repeller in the global attractor, there exists a family of admissible multiplicative noises with respect to which no limit measure can be concentrated on the local repeller. Moreover, we show that if there is a strongly repelling equilibrium in the global attractor, then limit measures with respect to typical families of multiplicative noises are always concentrated away from the equilibrium. As applications of these results, an example of stochastic Hopf bifurcation is provided. Our study is closely related to the problem of noise stability of compact invariant sets and invariant measures of the unperturbed system.

연구 동기 및 목표

• 다중성 백색잡음에 의해 편향된 미분방정식의 정적 측도의 극한 행동을 분석하기.
• 비편향 시스템의 전역 또는 국소 초점집합/반발집합에 이러한 한계 측도가 농도하는 조건을 규명하기.
• 한계 측도가 강력히 반발하는 평형점에서 피하는 조건을 설정하기.
• 불변 집합의 확률적 안정성과 적합한 소음 가족의 존재 사이의 관계를 연결하기.
• 정적 동역학 시스템에서의 소음 안정성을 이해하기 위한 분포 기반 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• Itô SDE 형태 dx = V(x)dt + G(x)dW에 대응하는 포아송-플랑크 방정식을 분석한다.
• 비편향 시스템에 대해 균일한 리아푸노프 함수를 사용하여 정적 측도의 상대적 순차적 컴팩트성을 증명한다.
• 약한∗-위상 수렴을 적용하여 한계 측도가 비편향 시스템의 불변 측도임을 식별한다.
• 한계 측도의 농도 행동을 제어하기 위해 적합한 다중성 소음 가족의 개념을 도입한다.
• 격리 주변 및 C2 경계 조건을 사용하여 강한 국소 초점집합/반발집합을 특성화한다.
• 리아푸노프/역리아푸노프 함수를 사용하여 역학적 구조와 확률적 안정성 간의 연결을 맺는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음이 사라질 때, 소음 편향의 정적 측도가 비편향 시스템의 불변 측도로 약한 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 한계 측도가 비편향 시스템의 전역 초점집합에 농도하는 조건는 무엇인가?
• RQ3 적합한 다중성 소음 가족의 선택이 강한 국소 초점집합에 한계 측도를 농도시키거나 강한 국소 반발집합을 피하도록 유도할 수 있는가?
• RQ4 강력히 반발하는 평형점이 존재할 경우, 한계 측도의 농도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 포아송-플랑크 방정식은 소음이 가미된 동역학 시스템의 장기적인 분포 행동을 어떻게 특성화하는가?

주요 결과

• 비편향 시스템이 균일한 리아푸노프 함수를 갖는다면, 정적 측도의 가속은 약한∗-위상에서 상대적으로 순차적 컴팩트하며, 모든 약한∗-극한 측도는 비편향 흐름에 대해 불변이다.
• 전역 초점집합에 강한 국소 초점집합이 포함되어 있을 경우, 모든 한계 측도가 그 국소 초점집합에 농도하는 적합한 다중성 소음 가족이 존재한다.
• 전역 초점집합에 강한 국소 반발집합이 포함되어 있을 경우, 한계 측도가 그 국소 반발집합에 농도할 수 없는 적합한 다중성 소음 가족이 존재한다.
• 전역 초점집합에 강력히 반발하는 평형점이 존재할 경우, 일반적인 적합한 다중성 소음 가족에 대해, 한계 측도는 항상 그 평형점에서 떨어져 농도한다.
• 결과는 확률적 허프 분기 예시에 적용되어, 분기 유도 초점집합 근처의 농도 행동을 시각화한다.
• 논문은 확률적 안정성과 이러한 집합을 유지하거나 피하는 소음 가족의 존재 사이에 엄밀한 연결을 수립한다.