[논문 리뷰] Concentration inequalities for disordered models

Frédérique Watbled|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 23.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 난잡한 펄싱 모델과 난잡한 환경에서의 도향 고무줄 모델에서 자유 에너지의 지수적 농도 부등식을 증명하며, 마팅게일 차분에 대한 일반화된 허프딩 부등식을 사용한다. 유한한 지수적 모멘트 조건(난잡성에 대한 유한한 지수적 모멘트)이라는 최소한의 조건 하에, 자유 에너지가 평균 주위에 매우 견고하게 농도함을 증명하며, 가우시안 또는 로그-소볼레프 조건을 요구하지 않아도 된다. 이는 고무줄 끝점 위치에 대한 정밀한 대 deviations 원리를 이끌어낸다.

ABSTRACT

We use a generalization of Hoeffding's inequality to show concentration results for the free energy of disordered pinning models, assuming only that the disorder has a finite exponential moment. We also prove some concentration inequalities for directed polymers in random environment, which we use to establish a large deviations results for the end position of the polymer under the polymer measure.

연구 동기 및 목표

• 가우시안성 또는 로그-소볼레프 부등식과 같은 강력한 가정이 필요 없이, 난잡한 펄싱 모델과 도향 고무줄 모델의 자유 에너지에 대한 농도 부등식을 수립하는 것.
• 난잡성에 대해 유한한 지수적 모멘트 조건만을 가정할 때, 난잡한 시스템에서 발생하는 마팅게일 차분 수열에 대해 허프딩 유형의 부등식을 확장하는 것.
• 고무줄 측도 하에서 도향 고무줄의 끝점에 대한 대 deviations 원리를 자유 에너지의 농도를 이용해 유도하는 것.
• annealed 자유 에너지가 약한 난잡성 모멘트 조건 하에서 지수 꼬리 경계를 가진 자가 평균화됨을 보이는 것.

제안 방법

• 자유 에너지의 누적모멘트 생성함수를 제어하기 위해 마팅게일 차분에 대한 허프딩 부등식의 일반화를 사용한다.
• 로그 파artition 함수 $ \ln Z_n $에 대한 지수적 모멘트 경계를 적용하여, $ t \in [0,1] $ 에 대해 $ \mathbb{E} \exp(\pm t(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n)) \leq \exp(nKt^2) $ 를 증명하며, 여기서 $ K $ 는 $ \beta $, $ h $, 및 $ \eta $ 의 생성함수에 의존한다.
• annealed 자유 에너지의 극한 존재성을 증명하기 위해, $ Y_n $ 이라는 경로 위의 가중 평균 기대값에 대해 $ \mathbb{E} \ln Y_n $ 의 초가역성을 확립한다.
• 라플라스 방법과 변분 분석을 사용하여, 고무줄 끝점의 대 deviations 를 지배하는 비용 함수 $ I_\beta(x) = \sup_{\lambda > 0} \left( p(\beta) - \phi_\lambda(x) \right) $ 를 도출한다.
• 보렐-칸탈리 보조정리와 $ L^p $ 수렴의 거의 확실 수렴을 적용하여, $ \frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} \to L_\beta(x,\varepsilon) $ a.s. 와 $ L^p $ 에서 수렴함을 보인다.
• 극한 $ I_\beta(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \mathbb{E} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} + p(\beta) $ 을 통해 대 deviations 비용 함수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 난잡성에 대해 유한한 지수적 모멘트 조건만을 가정할 때, 가우시안 또는 로그-소볼레프 조건 없이도 난잡한 모델에서 자유 에너지의 측도 농도를 확립할 수 있는가?
• RQ2 최소한의 모멘트 조건 하에서 $ \frac{1}{n}(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n) $ 의 정확한 尾행동은 어떠한가?
• RQ3 자유 에너지의 농도가 고무줄 측도 하에서 도향 고무줄의 끝점에 대한 대 deviations 를 어떻게 이끌어내는가?
• RQ4 고무줄 끝점의 대 deviations 를 위한 비용 함수는 무엇이며, annealed 자유 에너지 및 누적모멘트 생성함수와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 자유 에너지 $ \frac{1}{n} \ln Z_n $ 는 지수적 농도 경계를 만족하며, $ x \in (0, 2K] $ 에 대해 $ \mathbb{P}\left( \left| \frac{1}{n}(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n) \right| > x \right) \leq \exp\left( -\frac{n x^2}{4K} \right) $ 이고, $ x > 2K $ 에 대해 $ \exp(-n(x - K)) $ 이다. 여기서 $ K = 2 \max(e^{h + \lambda(\beta)}, 1) \times \max(e^{-h + \lambda(-\beta)}, 1) $ 이다.
• 자유 에너지의 누적모멘트 생성함수는 모든 $ t \in [0,1] $ 에 대해 $ \mathbb{E} \exp(\pm t(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n)) \leq \exp(nKt^2) $ 를 만족하며, 이는 약한 모멘트 조건 하에서의 견고한 농도를 증명한다.
• 고무줄 끝점 $ S_n $ 의 대 deviations 비용 함수는 $ I_\beta(x) = \sup_{\lambda > 0} \left( p(\beta) - \phi_\lambda(x) \right) $ 로 주어지며, 이는 단위 구 $ B_d $ 에서 볼록이고 하부 연속이다.
• $ \frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} \to L_\beta(x,\varepsilon) $ 는 거의 확실하게 및 $ L^p $ 에서 수렴하며, 모든 $ p \geq 1 $ 에 대해 성립한다. 여기서 $ L_\beta(x,\varepsilon) = l_\beta(x,\varepsilon) - p(\beta) $ 이며, $ l_\beta(x,\varepsilon) $ 는 $ \frac{1}{n} \mathbb{E} \ln Y_n $ 의 극한이다.
• 비용 함수 $ I_\beta(x) $ 는 $ \varepsilon \to 0 $ 에서 $ L_\beta(x,\varepsilon) $ 의 극한이며, $ x_n/n \to x $ 일 때 $ \mathbb{P}\text{-a.s.} \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n e^{-\lambda \|S_n - x_n\|_1} = p(\beta) - \phi_\lambda(x) $ 를 만족한다.