[논문 리뷰] Concentration of $1$-Lipschitz functions on manifolds with boundary with Dirichlet boundary condition

Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 12.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 35인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 리만다이만 다양체에서 하한이 주어진 리치 곡률과 평균 곡률 조건 하에서 관측 가능한 내접 반지름의 비교 정리를 수립하며, 딜리클레 조건을 만족하는 1-립시츠 함수의 경계 집중 현상을 측정하기 위한 새로운 불변량을 도입한다. 스펙트럴 갭 또는 곡률 조건이 만족될 경우, 이러한 다양체의 수열은 경계 집중을 보이며, 고르모프–밀먼 및 후나노–시요아 정리의 비폐쇄 다양체로의 일반화를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a concentration of measure problem on Riemannian manifolds with boundary. We study concentration phenomena of non-negative $1$-Lipschitz functions with Dirichlet boundary condition around zero, which is called boundary concentration phenomena. We first examine relation between boundary concentration phenomena and large spectral gap phenomena of Dirichlet eigenvalues of Laplacian. We will obtain analogue of the Gromov-V. D. Milman theorem and the Funano-Shioya theorem for closed manifolds. Furthermore, to capture boundary concentration phenomena, we introduce a new invariant called the observable inscribed radius. We will formulate comparison theorems for such invariant under a lower Ricci curvature bound, and a lower mean curvature bound for the boundary. Based on such comparison theorems, we investigate various boundary concentration phenomena of sequences of manifolds with boundary.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 리만다이만 다양체에서 딜리클레 경계 조건을 만족하는 1-립시츠 함수의 경계 집중 현상에 대한 수학적 형식화와 분석.
• 비음수 1-립시츠 함수가 딜리클레 조건을 만족할 때 그 집중 정도를 측정하는 새로운 불변량으로서 관측 가능한 내접 반지름을 도입.
• 리치 곡률과 경계의 평균 곡률에 하한 조건이 주어졌을 때 관측 가능한 내접 반지름에 대한 비교 정리를 수립.
• 기존의 측도 집중 결과(예: 고르모프–밀먼, 후나노–시요아)를 경계를 가진 다양체로 일반화.
• 스펙트럴 갭과 곡률 조건을 통해 경계 집중을 보이는 다양체 수열을 특성화.

제안 방법

• 경계까지의 거리 함수 ρ∂X(x) = dX(x, ∂X)를 정의하고, 이를 바탕으로 부분집합 Ω ⊂ X에 대한 내접 반지름 InRadΩ를 정의한다.
• Borel 셋 Ω에 대해 μX(Ω) ≥ ξ를 만족하는 경우에 대해 ξ-부분 내접 반지름 PartInRad(X;ξ)를 InRadΩ의 하한으로 정의한다.
• 모든 1-립시츠 함수 φ: X → [0,∞) 중에서 φ|∂X = 0를 만족하는 것들에 대해 PartInRad(Iφ;1−η)의 상한으로서 η-관측 가능한 내접 반지름 ObsInRad(X;−η)를 정의한다.
• φ#μX를 이용해 φ-스크린 (I, dI, mI,φ)를 정의함으로써 키 판 메트릭을 통해 집중 현상을 연구할 수 있도록 한다.
• 리치 곡률(Ric¹f,∂M⊥ ≥ (n−1)κe−4f/(n−1))과 평균 곡률(Hf,∂M ≥ (n−1)λe−2f/(n−1))에 하한 조건이 주어졌을 때 관측 가능한 내접 반지름에 대한 비교 정리를 수립한다.
• 이 정리를 적용하여 경계 집중을 위한 충분조건를 도출하며, 이는 스펙트럴 갭과 곡률 감쇠 조건을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 다양체에서 딜리클레 경계 조건을 만족하는 1-립시츠 함수가 경계 근처에서 0에 집중하는 데 필요한 기하적 조건는 무엇인가?
• RQ2 관측 가능한 내접 반지름은 경계 집중을 어떻게 측정하며, 딜리클레 라플라스 연산자의 스펙트럴 갭과는 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 리치 곡률과 평균 곡률에 하한 조건이 주어졌을 때 관측 가능한 내접 반지름에 대해 어떤 비교 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 측도 집중에 관한 고르모프–밀먼 및 후나노–시요아 정리는 경계를 가진 다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ5 경계 집중을 보이는 다양체 수열이 되기 위해 필요한 곡률 및 스펙트럴 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 관측 가능한 내접 반지름 ObsInRad(X;−η)는 η에 대해 단조 감소하며, η ≥ 1이면 0이 된다.
• 수열 {Xn}이 경계 집중 가족임은 모든 η > 0에 대해 ObsInRad(Xn;−η) → 0 (n → ∞)일 때이고, 그 때에만 성립한다.
• Ric¹f,∂M⊥ ≥ 0 이고 Hf,∂M ≥ (n−1)λne−2δn 이며 nλne−2δn → ∞ 이면 {(Mn,fn)}는 경계 집중 가족이다.
• Ric¹f,∂M⊥ ≥ (n−1)κne−4fn/(n−1) 이고 Hf,∂M ≥ (n−1)λne−2fn/(n−1) 이며 fn ≤ (n−1)δn 이며 nλne−2δn → ∞ 이면 {(Mn,fn)}는 경계 집중 가족이다.
• 상수 κ < 0 이고 λ = √|κ| 이거나 볼-볼드 조건을 만족할 경우, fn ≤ (n−1)δ 를 만족하는 어떤 δ ∈ ℝ 에 대해서도 동일한 결론이 성립한다.
• 구체적인 예시로 M̃n = [0,∞) × S^{n−1}_{κn,λn,δn} 를 고려하며, 특정 워프드 메트릭과 가중 함수 f̃n 을 갖는다. 만약 nλne−2δn → ∞ 이면 {(M̃n, f̃n)}는 경계 집중 가족이다.