[논문 리뷰] Concentration of risk measures: A Wasserstein distance approach

L. A. Prashanth, Sanjay P. Bhat|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 27.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 CVaR, CPT-value, 스펙트럼 위험 측도를 포함한 두 개의 광범위한 클래스에 걸쳐 경험적 위험 측도 추정의 농도 경계를 유도하기 위해 통합된 워샤프스타인 거리 기반 프레임워크를 제안한다. 추정 오차를 워샤프스타인 거리와 연결하고 최근의 농도 결과를 활용하여, 서브가우시안, 서브지수 및 꼬리가 무거운 분포에 대해 더 날카럽거나 동일한 경계를 제공하며, 확률적 밴딧에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

This paper presents a unified approach based on Wasserstein distance to derive concentration bounds for empirical estimates for a broad class of risk measures. The results cover two broad classes of risk measures which are defined in the paper. The classes of risk measures introduced include include as special cases well known risk measures from the finance literature such as conditional value at risk (CVaR), spectral risk measures, utility-based shortfall risk, cumulative prospect theory (CPT) value, and rank dependent expected utility. Two estimation schemes are considered, one for each class of risk measures. One estimation scheme involves applying the risk measure to the empirical distribution function formed from a collection of i.i.d. samples of the random variable (r.v.), while the second scheme involves applying the same procedure to a truncated sample. The bounds provided apply to three popular classes of distributions, namely sub-Gaussian, sub-exponential and heavy-tailed distributions. The bounds are derived by first relating the estimation error to the Wasserstein distance between the true and empirical distributions, and then using recent concentration bounds for the latter. Previous concentration bounds are available only for specific risk measures such as CVaR and CPT-value. The bounds derived in this paper are shown to either match or improve upon previous bounds in cases where they are available. The usefulness of the bounds is illustrated through an algorithm and the corresponding regret bound for a stochastic bandit problem involving a general risk measure from either of the two classes introduced in the paper.

연구 동기 및 목표

• 특정 사례인 CVaR나 CPT-value 외의 일반적인 농도 경계가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 주요 금융 위험 측도가 특수 케이스로 포함되는 두 개의 광범위한 클래스를 도입함으로써 위험 측도 분석의 통합을 위해.
• 완전한 샘플링 및 잘라낸 샘플링 기반의 두 가지 기법에서 경험적 위험 추정치에 대한 유한 표본 농도 경계를 유도하기 위해.
• 워샤프스타인 거리를 진짜 분포 오차와 연결하는 다리로 활용하여 기존의 농도 결과를 꼬리가 두꺼운 분포로 확장하기 위해.
• 확률적 밴딧 설정에서 위험 측도가 행동 선택을 이끄는 알고리즘을 개발하고, 유도된 위험 측도 농도 경계를 바탕으로 회귀 경계를 도출함으로써 실용적 유용성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 진짜 누적분포함수와 경험적 누적분포함수 간의 거리인 워샤프스타인 거리를 사용하여 위험 측도의 추정 오차를 연결하기 위해.
• 독립 동일분포(i.i.d.) 샘플링 하에서 진짜 분포와 경험적 분포 간의 워샤프스타인 거리에 대한 최근의 농도 경계를 적용하기 위해.
• 제안된 두 클래스의 위험 측도가 가진 리프시츠 성질과 워샤프스타인 농도 결과를 조합하여 위험 측도 농도 경계를 도출하기 위해.
• 두 가지 추정 기법을 고려: 하나는 경험적 누적분포의 전체를 사용하고, 다른 하나는 강건성을 향상시키기 위해 잘라낸 버전을 사용하기 위해.
• 서브가우시안, 서브지수 및 꼬리가 두꺼운 분포 세 종류의 분포 클래스에 대해 각각 알려진 워샤프스타인 농도 비율을 활용하여 프레임워크를 확장하기 위해.
• 농도 경계를 확률적 밴딧 설정에 적용하여, 위험 측도가 행동 선택을 이끄는 상황에서 해당 상황에 맞는 회귀 경계를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CVaR나 CPT-value와 같은 특정 사례 외의 광범위한 위험 측도 클래스에 대해 농도 경계를 유도할 수 있는 통합 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 진짜 분포와 경험적 분포 간의 워샤프스타인 거리는 일반 위험 측도의 추정 오차와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 유도된 경계가 CVaR나 CPT-value와 같은 잘 알려진 위험 측도에 대해 기존 경계를 얼마나 향상시키거나 동일하게 유지하는가?
• RQ4 서브가우시안, 서브지수 및 꼬리가 두꺼운 분포를 포함한 다양한 꼬리 행동에 대해 경계는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 유도된 농도 경계는 일반 위험 측도를 사용하는 확률적 밴딧 설정에서 회귀 경계를 효과적으로 도출하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 CVaR, 스펙트럼 위험 측도, 유틸리티 기반의 실현 위험, CPT-value, 순위 의존 기대 효용을 포함한 두 개의 광범위한 위험 측도 클래스에 대해 농도 경계를 제공한다.
• 농도 경계는 진짜 분포와 경험적 분포 간의 워샤프스타인 거리와 추정 오차를 연결함으로써 도출되었으며, 이는 최근의 농도 결과 적용을 가능하게 한다.
• 서브가우시안 및 서브지수 분포의 경우, CVaR나 CPT-value와 같은 특정 위험 측도에 대해 기존 결과와 동일하거나 더 날카로운 경계를 제공한다.
• 이 프레임워크는 이전에 경계가 제한되거나 존재하지 않았던 꼬리가 두꺼운 분포로까지 확장되며, 각각에 대한 알려진 워샤프스타인 농도 비율을 활용한다.
• 경계는 완전한 경험적 분포와 잘라낸 경험적 분포 양쪽 모두에 적용 가능하여 꼬리가 두꺼운 설정에서 강건성을 향상시킨다.
• 확률적 밴딧 문제를 위한 알고리즘을 개발하였으며, 유도된 위험 측도 농도 경계는 비점근적 회귀 경계를 도출하여 실용적 유용성을 입증한다.