[논문 리뷰] Concentration of the adjacency matrix and of the Laplacian in random graphs with independent edges

Roberto I. Oliveira|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 03.

Graph theory and applications참고 문헌 56인용 수 158

한 줄 요약

이 논문은 독립적인 간선 확률을 가진 무작위 그래프의 인cidency 행렬과 라플라시안에 대해 날카로운 농도 부등식을 수립하며, 최소 기대 차수 ω(ln n)을 초과할 경우 이들이 기대 가중 그래프의 해당 행렬들 주위에 집중됨을 보여준다. 주요 기여는 프리드먼의 스칼라 결과를 일반화한 새로운 행렬 마팅게일 농도 부등식으로, 스펙트럼 노름에 대한 날카로운 경계를 가능하게 하며, 결합 퍼콜레이션과 이종 무작위 그래프에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Consider any random graph model where potential edges appear independently, with possibly different probabilities, and assume that the minimum expected degree is omega(ln n). We prove that the adjacency matrix and the Laplacian of that random graph are concentrated around the corresponding matrices of the weighted graph whose edge weights are the probabilities in the random model. While this may seem surprising, we will see that this matrix concentration phenomenon is a generalization of known results about the Erös-Rényi model. In particular, we will argue that matrix concentration is implicit the theory of quasi-random graph properties. We present two main applications of the main result. In bond percolation over a graph G, we show that the Laplacian of the random subgraph is typically very close to the Laplacian of G. As a corollary, we improve upon a bound for the spectral gap due to Chung and Horn that was derived via much more complicated methods. In inhomogeneous random graphs, there are points X_1,...,X_n uniformly distributed on the interval [0,1] and each pair is connected with probability p kappa(X_i,X_j). We show that if \ln n/n<< p<< 1 and kappa is bounded, then the adjacency matrix of the random graph is close to an integral operator defined in terms of kappa. Our main proof tool is a new concentration inequality for matrix martingales that generalizes Freedman's inequality for the standard scalar setting.

연구 동기 및 목표

• 독립적인 간선 형성 조건을 가진 무작위 그래프에서 인cidency 행렬과 그래프 라플라시안의 고확률 집중을 기대값에 해당하는 행렬 주위에 수립하기.
• 프리드먼의 스칼라 부등식을 행렬 설정으로 일반화한 새로운 행렬 마팅게일 농도 부등식을 개발하기.
• 농도 결과를 결합 퍼콜레이션에 적용하여 퍼콜레이션된 그래프의 스펙트럼 갭에 대한 경계를 향상시키기.
• 평균 차수가 ω(ln n)인 이종 무작위 그래프에서 인cidency 행렬이 커널 κ로 정의된 적분 연산자에 의해 잘 근사됨을 보여주기.
• 최소 차수 조건이 약간의 조건을 만족할 경우 인cidency 및 라플라시안 행렬의 일반적인 행동이 기대값에 의해 잘 근사됨을 보여주기.

제안 방법

• 차분이 유계인 마팅게일에 대한 새로운 행렬 농도 부등식을 유도하며, 프리드먼의 부등식을 헤르미트 무작위 행렬으로 일반화한다.
• 경로 적분과 리졸베이트 분석을 사용하여 두 행렬에 관련된 투영 연산자 간의 스펙트럼 노름을 제한한다.
• 리졸베이트 항등식과 노이만 급수 전개를 적용하여 변형된 행렬의 리졸베이트 간 차이를 제어한다.
• 스펙트럼 정리와 고유값의 교차 성질을 사용하여 행렬 편향과 스펙트럼 투영의 변화를 연결한다.
• 행렬 농도 결과를 독립적인 간선을 가진 무작위 그래프에 적용하며, 최소 기대 차수가 ω(ln n)임을 가정한다.
• 적분 연산자 근사법을 사용하여 이종 무작위 그래프의 인cidency 행렬을 n이 큰 극한에서 커널 함수 κ로 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립적인 간선을 가진 무작위 그래프에서 인cidency 행렬이 기대 가중 그래프의 인cidency 행렬 주위에 집중되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이질적인 간선 확률을 가진 희박한 무작위 그래프 모델에서 그래프 라플라시안에 대한 행렬 농도는 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 프리드먼의 스칼라 부등식을 행렬 설정으로 일반화한 새로운 행렬 마팅게일 부등식을 개발할 수 있는가?
• RQ4 결합 퍼콜레이션은 원래 그래프의 스펙트럼 성질을 어느 정도 유지하는가? 이는 어떻게 행렬 농도를 통해 정량화할 수 있는가?
• RQ5 커널 κ를 가진 이종 무작위 그래프에서 인cidency 행렬은 κ로 정의된 적분 연산자에 의해 어느 정도 잘 근사될 수 있는가?

주요 결과

• 독립적인 간선을 가진 무작위 그래프에서 인cidency 행렬은 기대 가중 그래프의 인cidency 행렬 주위에 고확률으로 집중되며, 오차는 Δ이 최대 기대 차수일 때 O(√(Δ ln n))이다.
• 라플라시안 행렬은 기대값에 대해 고확률로 O(√(ln n / d))의 오차로 집중되며, 여기서 d는 최소 기대 차수이다.
• 최소 기대 차수가 ω(ln n)인 그래프에서의 결합 퍼콜레이션에 대해, 퍼콜레이션된 그래프의 라플라시안은 일반적으로 p배의 원래 라플라시안에 가까워지며, 스펙트럼 갭에 대한 이전 경계를 향상시킨다.
• 새로운 행렬 마팅게일 농도 부등식은 독립적인 원소를 가진 무작위 행렬의 스펙트럼 성질을 분석하는 데 일반적인 도구를 제공하며, 그래프 이론 외부에도 적용 가능하다.
• 평균 차수가 ω(ln n)인 이종 무작위 그래프에서, 적당한 정규성 조건 하에 인cidency 행렬은 커널 κ로 정의된 적분 연산자에 의해 잘 근사된다.
• 밀도가 높거나 준무작위 모델의 경우 농도 경계는 본질적으로 날카로우며, 농도가 성립하지 않을 때 정확히 자명해지는 경향이 있다.