[논문 리뷰] Concentration phenomena for the nonlocal Schrödinger equation with Dirichlet datum

Juan Dávila, Manuel del Pino외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Advanced Mathematical Physics Problems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 작은 매개수 $\varepsilon \to 0$ 일 때 내부 점으로 농축되는 비국소 슈뢰딩거 방정식의 딜리클레 경계 조건에 대한 해를 구축한다. 변분 감소 접근법을 사용하여, 농축점이 비국소 효과로 인해 경계로부터의 거리에 대해 다항식적으로 스케일링되는 감소된 에너지 함수를 최소화함을 보여준다. 이는 고전적인 지수 스케일링과 대조된다. 주요 결과는 해 $U_\varepsilon$가 스케일링된 기본 상태를 오차 $O(\varepsilon^{n+2s})$ 내에서 잘 근사하며, 농축점이 경계로부터 균일하게 떨어져 있음을 보여준다.

ABSTRACT

For a smooth, bounded domain $Ω$, $s\in(0,1)$, $p\in \left(1,\frac{n+2s}{n-2s} ight)$ we consider the nonlocal equation $$ ε^{2s} (-Δ)^s u+u=u^p \quad {\mbox{in}}Ω$$ with zero Dirichlet datum and a small parameter $ε>0$. We construct a family of solutions that concentrate as $ε o 0$ at an interior point of the domain in the form of a scaling of the ground state in entire space. Unlike the classical case $s=1$, the leading order of the associated reduced energy functional in a variational reduction procedure is of polynomial instead of exponential order on the distance from the boundary, due to the nonlocal effect. Delicate analysis is needed to overcome the lack of localization, in particular establishing the rather unexpected asymptotics for the Green function of $ ε^{2s} (-Δ)^s +1$ in the expanding domain $ε^{-1}Ω$ with zero exterior datum.

연구 동기 및 목표

• 비국소 슈뢰딩거 방정식 $\varepsilon^{2s}(-\Delta)^s U + U = U^p$ 가 유계 도메인 $\Omega$ 내에서 $\varepsilon \to 0$ 일 때 내부 점으로 농축되는 해의 존재를 확립하는 것.
• 변분 감소를 통해 유도된 감소된 에너지 함수를 최소화함으로써 농축점의 위치를 특성화하는 것.
• 확장 도메인에서 비국소 연산자 $(-\Delta)^s + 1$ 의 그린 함수와 로빈 함수의 점점 증가하는 행동을 분석하여 비국소 연산자가 내재하는 국소화 부족을 극복하는 것.
• 비국소 성질로 인해 에너지 전개의 주요 항이 거리에 대해 다항식적으로 스케일링되며, 이는 고전적인 지수 스케일링과 대비됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 스케일링 $u(x) = U(\varepsilon x)$ 를 통해 원래 문제를 $\Omega_\varepsilon = \Omega / \varepsilon$ 로 이동시켜 고정된 연산자 $(-\Delta)^s + 1$ 를 갖는 확장 도메인 문제로 변환한다.
• 일차 근사 $\bar{u}_\xi$ 를 선형 문제 $(-\Delta)^s \bar{u}_\xi + \bar{u}_\xi = w_\xi^p$ 의 해로 정의한다. 여기서 $w_\xi(x) = w(x - \xi)$ 이고, $w$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서의 기본 상태이다. 경계 외부 데이터는 0이다.
• 라이아푸노프-슐레드 감소를 적용하여 문제를 감소된 함수 $H_\varepsilon(\xi)$ 의 임계점 찾기로 감소시킨다. 이 함수는 농축점의 위치를 결정한다.
• 에너지 전개 $I_\varepsilon(\bar{u}_\xi) = I_0 + \frac{1}{2} H_\varepsilon(\xi) + o(\varepsilon^{n+4s})$ 를 추정하며, 여기서 $H\_\varepsilon(\xi)$ 는 그린 함수의 정규 부분을 포함하고 비국소 상호작용을 기록한다.
• 경계로부터 균일하게 떨어진 $\xi$ 에 대해, 장벽 방법과 비교 원리를 사용하여 $\alpha / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s} \leq H_\varepsilon(\xi) \leq \beta / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s}$ 의 날카운 다항식 경계를 확립한다. 여기서 $\alpha, \beta > 0$ 는 $\varepsilon$ 와 무관하다.
• 최근에 증명된 $\mathbb{R}^n$ 에서 기본 상태 $w$ 의 비퇴화성에 기반하여, 라이아푸노프-슐레드 감소를 정당화하고 근사해 $\bar{u}_{\xi_\varepsilon}$ 근처에 유일한 해가 존재함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적인 분수 라플라스 연산자의 성질이 딜리클레 조건을 가진 슈뢰딩거 방정식의 해의 농축 프로파일과 위치에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 확장 도메인에서 연산자 $(-\Delta)^s + 1$ 의 그린 함수와 로빈 함수의 점점 증가하는 행동은 무엇이며, 고전적 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 왜 비국소적 경우에서는 에너지 전개의 주요 항이 거리에 대해 다항식적으로 스케일링되지만, 고전적 경우에서는 지수적으로 스케일링되는가?
• RQ4 비국소성과 비국소 상호작용으로 인해 국소화가 부족한 비국소 방정식에 대해 변분 감소 접근법이 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 농축점의 정확한 위치는 무엇이며, 도메인의 기하학적 구조와 비국소 에너지 함수는 어떻게 그 위치를 결정하는가?

주요 결과

• 충분히 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 내부 점 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ 에서 농축되는 비국소 슈뢰딩거 방정식의 해 $U_\varepsilon$ 가 존재한다. 이때 $\|U_\varepsilon(x) - w\left(\frac{x - \tilde{\xi}_\varepsilon}{\varepsilon}\right)\|_{L^\infty} \leq C \varepsilon^{n+2s}$ 를 만족하며, 여기서 $C$ 는 $\varepsilon$ 와 $\Omega$ 와 무관하다.
• 농축점 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ 는 경계로부터 균일하게 떨어져 있으며, 어떤 $\varepsilon$ 와 무관한 상수 $c > 0$ 에 대해 $\text{dist}(\tilde{\xi}_\varepsilon, \partial\Omega) \geq c$ 를 만족한다.
• 농축점 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ 는 감소된 함수 $H_\varepsilon(\xi)$ 의 최소화자로 특성화되며, 오차가 $O(\varepsilon^{n+4s})$ 이다. 여기서 $H_\varepsilon(\xi)$ 는 $\Omega_\varepsilon$ 에서 그린 함수의 정규 부분을 통해 정의된다.
• 함수 $H_\varepsilon(\xi)$ 는 경계로부터 최소한 거리 5 이상 떨어진 $\xi$ 에 대해 $\alpha / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s} \leq H_\varepsilon(\xi) \leq \beta / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s}$ 의 날카운 다항식 경계를 만족한다. 여기서 $\alpha, \beta > 0$ 는 $\varepsilon$ 와 무관하다.
• 에너지 전개 $I_\varepsilon(\bar{u}_\xi) = I_0 + \frac{1}{2} H_\varepsilon(\xi) + o(\varepsilon^{n+4s})$ 는 비국소 효과로 인해 경계로부터의 거리에 대해 다항식 감쇠가 발생함을 드러내며, 이는 고전적인 $s=1$ 경우의 지수 감쇠와 대비된다.
• 증명은 확장 도메인 $\Omega_\varepsilon$ 에서의 비국소 상호작용을 제어하기 위해 그린 함수와 로빈 함수 $H_\varepsilon(x, \xi)$ 의 미세한 분석에 기반하며, 장벽 구성과 비교 원리를 사용한다.