[논문 리뷰] Concentration phenomenon for fractional nonlinear Schrödinger equations

Guoyuan Chen, Youquan Zheng|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 20.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 41인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 비국소 연산자 $(-\varepsilon^2\Delta)^s$를 갖는 분수 비선형 슈뢰딩거 방정식의 해들이 $\varepsilon \to 0$일 때 농축하는 현상을 규명한다. 르리아프노프-슐라이트 방법을 사용하여, $n=1,2,3$, $\max\{\frac{1}{2},\frac{n}{4}\} < s < 1$, 및 $1 \leq \alpha < \alpha_*(s,n)$ 조건 하에 잠재력 $V$의 비퇴화된 임계점에서 비자명한 해의 존재를 증명한다. 여기서 $\alpha_*(s,n) = \frac{4s}{n-2s}$ for $s < \frac{n}{2}$ 이고, 그렇지 않으면 $\infty$이다.

ABSTRACT

We study the concentration phenomenon for solutions of the fractional nonlinear Schrödinger equation, which is nonlocal. We mainly use the Lyapunov-Schmidt reduction method. Precisely, consider the nonlinear equation \begin{equation}\label{e:abstract} (-\varepsilon^2Δ)^sv+Vv-|v|^αv=0\quad\mbox{in}\quad\mathbf R^n, \end{equation} where $n =1, 2, 3$, $\max\{\frac{1}{2}, \frac{n}{4}\}&lt; s &lt; 1$, $1 \leq α&lt; α_*(s,n)$, $V\in C^3_{b}(\mathbf{R}^n)$. Here the exponent $α_*(s,n)=\frac{4s}{n-2s}$ for $0 &lt; s &lt; \frac{n}{2}$ and $α_*(s,n)=\infty$ for $s \geq\frac{n}{2}$. Then for each non-degenerate critical point $z_0$ of $V$, there is a nontrivial solution of equation ( ef{e:abstract}) concentrating to $z_0$ as $\varepsilon o 0$.

연구 동기 및 목표

• 비국소 연산자를 갖는 분수 비선형 슈뢰딩거 방정식의 해에서 발생하는 농축 현상을 조사한다.
• 잠재력 $V$의 비퇴화된 임계점에서 $\varepsilon \to 0$일 때 비자명한 해의 존재를 확립한다.
• 비국소 방정식에 대해 르리아프노프-슐라이트 감소법을 분수 설정으로 확장한다.
• 잠재력 $V$와 비선형성의 정규성 및 성장 조건 하에서 작은 $\varepsilon$ 근처에서 해의 거동을 분석한다.

제안 방법

• 방정식 $(-\varepsilon^2\Delta)^s v + Vv - |v|^\alpha v = 0$ 에 르리아프노프-슐라이트 감소법을 적용한다. $\mathbf{R}^n$ 에서.
• 한계 문제 $(-\Delta)^s u + u = |u|^\alpha u$ 의 스케일링된 기본 상태 $u_0$ 를 사용하여 형식적 앵자르를 구성한다.
• 해는 중심이 $z$ 에 있는 주요 부분 $u_{z,\varepsilon}$ 과 보정 항 $\phi_{z,\varepsilon}$ 로 분해되며, 후자는 사영된 방정식을 통해 통제된다.
• 감소는 가중치가 부여된 $H^{2s}$-유형 공간에서 수행되며, 암시함수정리에 의해 사영된 방정식의 해가 존재함을 증명한다.
• 오차 항 $e_1, e_2, e_3$ 에 대한 추정치는 $u_0$ 의 감쇠 성질과 $V$ 의 정규성에 기반하여 유도되며, $\rho = \varepsilon^{-\lambda}$ 를 포함한 노름을 신중히 통제한다.
• 브라우어 고정점 정리에 기반한 위상적 추론을 통해 감소된 해 매핑의 영점이 존재함을 보이며, 이는 $z_\varepsilon \to 0$ 에서 농축하는 해 $v_\varepsilon$ 가 존재함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 연산자 $(-\Delta)^s$를 갖는 분수 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, $\varepsilon \to 0$일 때 잠재력 $V$의 비퇴화된 임계점에서 비자명한 해가 존재하는가?
• RQ2 르리아프노프-슐라이트 감소법은 비국소 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$를 다룰 수 있도록 적응 가능한가?
• RQ3 농축 현상이 발생하는 데 필요한 $s$, $n$, 및 $\alpha$ 의 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ4 특히 해의 프로파일이 스케일링된 기본 상태로 수렴하는 방식에서 작은 $\varepsilon$ 근처에서의 해의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 잠재력의 임계점의 비퇴화성은 농축 해의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 잠재력 $V$의 각 비퇴화된 임계점 $z_0$ 에 대해, 방정식 $(-\varepsilon^2\Delta)^s v + Vv - |v|^\alpha v = 0$ 에 대해 $\varepsilon \to 0$ 일 때 $z_0$ 에서 농축하는 비자명한 해 $v_\varepsilon$ 가 존재한다.
• 해는 $v_\varepsilon(x) = u_0\left(\frac{x - z_\varepsilon}{\varepsilon}\right) + \phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}$ 의 형태를 가지며, 여기서 $z_\varepsilon \to 0$ 이고 $\|\phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}\|_{2s} \to 0$ 이다. $\varepsilon \to 0$ 일 때.
• 보정 항 $\phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}$ 는 $\varepsilon \to 0$ 일 때 균일하게 0으로 수렴하여 해가 단일 점 주변에 농축됨을 보장한다.
• 지수 $\alpha$ 는 $1 \leq \alpha < \alpha_*(s,n)$ 를 만족해야 하며, 여기서 $\alpha_*(s,n) = \frac{4s}{n-2s}$ for $s < \frac{n}{2}$ 이고, 그렇지 않으면 $\infty$ 이다.
• 이 방법은 잠재력의 임계점의 비퇴화성과 한계 문제의 유일하고 비퇴화된 기본 상태 해의 존재에 의존한다.
• 분석은 $n=1,2,3$, $\max\{\frac{1}{2},\frac{n}{4}\} < s < 1$, 및 $V \in C^3_b(\mathbf{R}^n)$ 조건 하에서 유효하다.