[논문 리뷰] Concerning the dual group of a dense subgroup

W. W. Comfort, S. U. Raczkowski외 1명|ArXiv.org|2002. 04. 10.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 밀도 있는 부분군이 쌍대 호모로피즘을 통해 위상수학적으로 결정하는 '결정된' 위상적 아벨 군의 개념을 조사한다. 주요 기여는 모든 메트라이잭블 군이 결정된다는 것을 증명하는 것으로, 이는 비메트라이잭블이면서 비콤팩트인 군들도 결정될 수 있음을 보여주며, 비록 비콤팩트 군이지만 무게가 적어도 non(𝒩) 이상인 콤팩트 군은 결정되지 않는다는 것을 밝힌다. 이 작업은 보르 토폴로지, 쌍대성, 기수 불변량 간의 관계를 수립하며, 특히 결정성과 기수 non(𝒩) 간의 연결 고리를 규명한다.

ABSTRACT

Throughout this Abstract, $G$ is a topological Abelian group and $\hat{G}$ is the space of continuous homomorphisms from $G$ into $T$ in the compact-open topology. A dense subgroup $D$ of $G$ determines $G$ if the (necessarily continuous) surjective isomorphism $\hat{G} woheadrightarrow \hat{D}$ given by $h\mapsto h|D$ is a homeomorphism, and $G$ is determined if each dense subgroup of $G$ determines $G$. The principal result in this area, obtained independently by L. Aussenhofer and M. J. Chasco}, is the following: Every metrizable group is determined. The authors offer several related results, including these. (1) There are (many) nonmetrizable, noncompact, determined groups. (2) If the dense subgroup $D_i$ determines $G_i$ with $G_i$ compact, then $\oplus_i D_i$ determines $Π_i G_i$. In particular, if each $G_i$ is compact then $\oplus_i G_i$ determines $Π_i G_i$. (3) Let $G$ be a locally bounded group and let $G^+$ denote $G$ with its Bohr topology. Then $G$ is determined if and only if ${G^+}$ is determined. (4) Let $non(N)$ be the least cardinal $κ$ such that some $X \subseteq T}$ of cardinality $κ$ has positive outer measure. No compact $G$ with $w(G)\geq non(N)$ is determined; thus if $non(N)=\aleph_1$ (in particular if CH holds), an infinite compact group $G$ is determined if and only if w(G)=ω$. Question. Is there in ZFC a cardinal $κ$ such that a compact group $G$ is determined if and only if $w(G)

연구 동기 및 목표

• 밀도 있는 부분군을 통한 쌍대성에 의해 어떤 위상적 아벨 군이 '결정된' 것으로 간주되는지를 특성화하는 것.
• 보르 토폴로지와 군의 결정성 간의 관계를 분석하며, 특히 국소 유계 및 콤팩트 군에서의 경우를 중심으로 탐구하는 것.
• 콤팩트 군이 더 이상 결정되지 않는 기수 이론적 임계점(non(𝒩))을 규명하는 것.
• 모든 콤팩트 군이 결정되려면 그 무게가 κ 미만이어야 하는 일관된 기수 κ가 존재하는지 탐색하는 것.
• 무한한 곱과 직합에 대한 결정성의 보존 여부를 조사하는 것.

제안 방법

• 군의 특성군 $\widehat{G} = \mathrm{Hom}(G, \mathbb{T})$ 위에 컴팩트-오픈 위상을 도입하여 쌍대성을 정의하고, 밀도 있는 부분군 $D \leq G$가 $\widehat{G} \to \widehat{D}$ 위상동형사를 유도하는 조건을 분석한다.
• 모든 메트라이잭블 군이 결정된다는 바탕이 되는 결과로, 아우젠호퍼-샤스코 정리를 활용한다.
• 군 $G$의 보르 토폴로지 $G^+$를 분석하여, $G$가 결정되려면 $G^+$도 결정되어야 한다는 것을 보여준다.
• 체수 $\mathbb{T}$와 $F^\omega$ 사이의 보렐 동형 정리를 활용하여, $\mathrm{non}(\mathcal{N}(\mathbb{T}))$와 $\mathrm{non}(\mathcal{N}(F^\omega))$의 기수를 동일시한다.
• 기수 불변량인 $\mathrm{non}(\mathcal{N})$ — 즉, $\mathbb{T}$의 부분집합 중 외부 측도가 양수인 최소 기수 — 를 활용하여 결정되지 않는 콤팩트 군의 무게를 유계화한다.
• 특히 $\mathrm{non}(\mathcal{N}) = \aleph_1$인 모델에서의 집합론적 위상수학과 측도론의 결과를 적용하여, 일致성 및 독립성 결과를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비메트라이잭블이면서 비콤팩트인 결정된 위상적 아벨 군이 존재하는가?
• RQ2 각각의 $D_i$가 각각의 콤팩트 군 $G_i$를 결정하고, 각 $G_i$가 콤팩트일 때, $\oplus_i D_i$가 $\Pi_i G_i$를 결정하는가?
• RQ3 모든 콤팩트 군 $G$가 결정되려면 $w(G) < \kappa$여야 하는 기수 $\kappa$가 존재하는가?
• RQ4 ZFC에서 $\mathbb{T}^{\aleph_1}$과 $F^{\aleph_1}$(|F| > 1인 유한체 $F$)는 결정되지 않는가?
• RQ5 결정된 군들의 유한 개 곱은 반드시 결정되는가?

주요 결과

• 비메트라이잭블이면서 비콤팩트인 결정된 위상적 아벨 군이 존재한다.
• 각각의 밀도 있는 부분군 $D_i$가 각각의 콤팩트 군 $G_i$를 결정한다면, $\oplus_i D_i$는 $\Pi_i G_i$를 결정한다. 특히 모든 $G_i$가 콤팩트일 경우 $\oplus_i G_i$가 $\Pi_i G_i$를 결정한다.
• 위상적 아벨 군 $G$가 결정되려면 그 보르 토폴로지 $G^+$도 결정되어야 한다.
• 무게 $w(G) \geq \mathrm{non}(\mathcal{N})$인 어떤 콤팩트 군 $G$도 결정되지 않는다.
• 만약 $\mathrm{non}(\mathcal{N}) = \aleph_1$이면, 무한한 콤팩트 군 $G$는 $w(G) = \omega$일 때에만 결정된다.
• 모든 군 $G$가 결정되려면 $w(G) < \kappa$여야 하는 기수 $\kappa$의 존재는 ZFC와 일치하며, $\kappa = \mathrm{non}(\mathcal{N})$가 후보가 되지만 ZFC만으로는 증명될 수 없다.