[논문 리뷰] Concurrence of Lorentz-positive maps

Roland Hildebrand|ArXiv.org|2006. 12. 08.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 루체르-양성 사상과 일반화된 고유값 펜슬을 활용하여 양성 연산자 및 이변량 밀도 행렬의 혼합도와 I-충성도에 대한 명시적 공식을 제시한다. 입력 공간 𝒟(2)을 갖는 연산자에 대해 혼합도와 I-충성도는 루체르 원뿔 위의 볼록 및 오목 상한으로 간주되며, 각각 행렬 펜슬의 두 번째로 큰 및 가장 작은 일반화된 고유값을 이용해 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.

ABSTRACT

Let L_n be the n-dimensional Lorentz cone. A linear map M from R^m to R^n is called Lorentz-positive if M[L_m] is contained in L_n. We extend the notion of concurrence, which was initially introduced to quantify the entanglement of bipartite density matrices, to Lorentz-positive maps and provide an explicite formula for it. This allows us to obtain formulae for the concurrence of arbitrary positive operators taking 2 x 2 complex hermitian matrices as input and consequently of arbitrary bipartite density matrices of rank 2. Namely, let P: H(2) o H(d) be a positive operator, and let λ_1,...,λ_4 be the generalized eigenvalues of the pencil σ_2(P(X)) - λdet X, in decreasing order, where σ_2 is the second symmetric function of the spectrum. Then the concurrence is given by the expression C(P;X) = 2\sqrt{σ_2(P(X)) - λ_2 det X}. As an application, we compute the concurrences of the density matrices of all graphs with 2 edges. Similar results apply for a function which we call I-fidelity, with the second largest generalized eigenvalue λ_2 replaced by the smallest eigenvalue λ_4.

연구 동기 및 목표

• 양성 행렬의 힐베르트 공간에서의 양성 연산자로까지 혼합도 개념을 일반화하기.
• 루체르 원뿔 위에서 두 번째 대칭 함수의 제곱근에 대한 볼록 및 오목 상한을 정의하고 계산하기.
• 입력 공간 ℋ(2)를 갖는 양성 사상에 대해 혼합도와 I-충성도의 명시적 표현식 유도, 특히 질량-2 이변량 밀도 행렬에 대해.
• 양성 연산자의 혼합도와 부분 추적 사상 간의 관계를 설정하여 이변량 시스템에서의 계산 가능성을 보장하기.
• 혼합도와 I-충성도를 실현하는 최적의 순수 상태 분해를 체계적으로 계산하는 방법 제공하기.

제안 방법

• 논문은 실수 벡터 공간 간의 선형 사상으로서 루체르 원뿔을 유지하는 루체르-양성 사상을 정의하여, 부호수 (+---...)를 갖는 이차형식의 활용을 가능하게 한다.
• 펜슬 σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ det X 에 대한 일반화된 고유값 문제를 도입하며, 여기서 λ₁ ≥ λ₂ ≥ λ₃ ≥ λ₄ 는 일반화된 고유값이다.
• 혼합도는 C(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₂ det X] 로 계산되며, λ₂ 는 두 번째로 큰 일반화된 고유값이다.
• I-충성도는 λ₄ (가장 작은 일반화된 고유값) 를 사용하여 유사하게 정의되며, F(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₄ det X] 를 얻는다.
• ℋ(2) 에서 양성 연산자 Φ 는 루체르-양성 사상을 유도하며, 이는 루체르 원뿔의 구조로의 축소를 가능하게 한다.
• 혼합도 또는 I-충성도를 실현하는 최적의 분해는 λ₂ (혼합도의 경우) 또는 λ₄ (I-충성도의 경우) 에 대응하는 고유벡터로부터 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 펜슬의 일반화된 고유값을 이용해 입력 공간 Φ:ℋ(2)→ℋ(d₂) 를 갖는 양성 연산자의 혼합도를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 루체르 원뿔은 양성 연산자로까지 혼합도 개념을 일반화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 동일한 함수의 오목 상한으로 정의된 I-충성도는 혼합도와 유사한 공식으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 어떤 양성 연산자 클래스에서 두 번째 대칭 함수의 제곱근에 대한 볼록 상한이 닫힌 형태의 표현식을 갖는가?
• RQ5 질량-2 밀도 행렬에 대해 혼합도 또는 I-충성도를 실현하는 최적의 순수 상태 분해의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 입력 공간 Φ:ℋ(2)→ℋ(d₂) 를 갖는 양성 연산자의 혼합도는 C(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₂ det X] 로 주어지며, 여기서 λ₂ 는 펜슬 σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ det X 의 두 번째로 큰 일반화된 고유값이다.
• 동일한 연산자의 I-충성도는 F(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₄ det X] 로 주어지며, 여기서 λ₄ 는 가장 작은 일반화된 고유값이다.
• 질량-2 이변량 밀도 행렬의 경우, 혼합도와 I-충성도는 동일한 공식을 사용하여 계산할 수 있으며, Φ 를 부분 추적 사상으로 식별함으로써 가능하다.
• 혼합도 또는 I-충성도를 실현하는 최적의 분해는 오직 두 개의 순수 상태로 구성되며, 분해 벡터는 λ₂ 또는 λ₄ 에 대응하는 행렬 펜슬의 고유벡터로부터 유도된다.
• 논문은 두 개의 간선을 갖는 20개의 그래프에 대해 모든 혼합도 값을 명시적으로 제공하며, 동형 그래프는 공통된 스펙트럼과 범위를 공유하므로 동일한 혼합도와 I-충성도를 갖는다.
• 일반화된 고유값 펜슬을 통한 루체르 원뿔의 구조로의 축소를 통해, 입력 공간 ℋ(2)를 갖는 모든 양성 연산자, 특히 임의의 질량을 갖는 경우에도 결과가 확장된다.