[논문 리뷰] Conditional-sum-of-squares estimation of models for stationary time series with long memory

Peter M. Robinson|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|2007. 02. 26.

Financial Risk and Volatility Modeling인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 장기적 기억을 가진 시간 시리즈 모델에 대한 조건부합의제곱(CSS) 추정량의 점근적 정규성을 확립하며, CSS 추정량이 가우시안 최대우도 및 윌틀 추정량과 동일한 점근적 분포 성질을 갖는다는 것을 입증한다. 주요 기여는 장기적 기억 설정에서 예측 오차의 천천히 감쇠하는 성질로 인해 표준 단기적 기억 추론이 실패하는 상황에서, 무시할 수 없는 잘라내기 오차를 고려한 엄밀한 증명을 제공한다는 것이다.

ABSTRACT

Employing recent results of Robinson (2005) we consider the asymptotic properties of conditional-sum-of-squares (CSS) estimates of parametric models for stationary time series with long memory. CSS estimation has been considered as a rival to Gaussian maximum likelihood and Whittle estimation of time series models. The latter kinds of estimate have been rigorously shown to be asymptotically normally distributed in case of long memory. However, CSS estimates, which should have the same asymptotic distributional properties under similar conditions, have not received comparable treatment: the truncation of the infinite autoregressive representation inherent in CSS estimation has been essentially ignored in proofs of asymptotic normality. Unlike in short memory models it is not straightforward to show the truncation has negligible effect.

연구 동기 및 목표

• 장기적 기억을 가진 정적 시간 시리즈에 대한 조건부합의제곱(CSS) 추정량의 점근적 정규성을 확립하기 위해.
• 특히 장기적 기억 모델에서 잘라내기 효과가 무시할 수 없을 경우 발생하는 CSS 추정의 이론적 다루기 어려움을 보완하기 위해.
• 장기적 기억 하에서 CSS 추정량이 가우시안 최대우도 추정량 및 윌틀 추정량과 동일한 점근적 분포 성질을 갖는다는 것을 보여주기 위해.
• 장기적 기억 과정에서 예측 오차의 천천히 감쇠하는 성질을 고려한 점근적 정규성에 대한 엄밀한 증명을 제공하기 위해.
• AR 계수와 스펙트럼 밀도에 대한 일반적인 조건 하에서, CSS 추정량의 거의 확실 수렴 결과를 장기적 기억 시간 시리즈로 확장하기 위해.

제안 방법

• 잔차 제곱합을 최소화하는 조건부합의제곱(CSS) 추정을 사용하며, 이는 $ s_n(\theta) = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n e_t^2(\theta) $ 로 정의되며, 여기서 $ e_t(\theta) = \sum_{j=0}^{t-1} \alpha_j(\theta) x_{t-j} $ 이다.
• 진짜 매개변수 $ \theta_0 $를 중심으로 점근적 확률적 성질을 분석하기 위해 점수 함수 $ r_n(\theta) = \partial s_n(\theta)/\partial \theta $ 에 대해 중간값 정리를 적용한다.
• 잔차 $ e_t $ 를 오차항 $ \varepsilon_t $ 로 대체할 때 발생하는 영향을 제어하기 위해 점수 차이 $ r_n(\theta_0) - r_n^*(\theta_0) $ 를 세 항 $ r_{1n}, r_{2n}, r_{3n} $ 으로 분해한다.
• 모멘트 경계와 마팅게일 차분 가정을 활용하여 $ \|r_{1n}\|, \|r_{2n}\|, \|r_{3n}\| = o_p(n^{-1/2}) $ 를 입증함으로써 잘라내기 오차가 점근적으로 무시할 수 있음을 보장한다.
• 리만-레베그 정리와 토피리츠 보조정리를 활용하여 거의 확실 수렴 증명에서 자기공명분산과 계수 합의 감쇠를 제어한다.
• 로빈슨(2005)의 결과와 포크 및 타크쿠(1986), 다헬하우스(1989)의 이전 연구를 활용하여 장기적 기억 하에서의 점근적 분포를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장기적 기억 시간 시리즈 모델에서 잘라내기 효과가 무시할 수 없을 경우, CSS 추정량의 점근적 정규성을 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ2 예측 오차 $ \mathbb{E}[(e_t - \varepsilon_t)^2] \leq K t^{-1} $ 가 천천히 감쇠하는 것은 단기적 기억 모델과 비교해 CSS 추정량의 점근적 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 장기적 기억 하에서 CSS 추정량은 가우시안 최대우도 추정량 및 윌틀 추정량과 동일한 점근적 효율성과 분포 성질을 갖는가?
• RQ4 장기적 기억 설정에서 CSS 추정량 $ \hat{\theta}_n $ 이 진짜 매개변수 $ \theta_0 $ 로 거의 확실히 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 느린 감쇠가 존재하는 장기적 기억 하에서, 무한차수 AR 표현에서의 잘라내기 오차가 점근적으로 사라질 수 있는가?

주요 결과

• AR 계수가 합산 가능하고, 에르고딕성 조건이 만족될 경우, CSS 추정량 $ \hat{\theta}_n $ 은 진짜 매개변수 $ \theta_0 $ 로 거의 확실히 일致한다.
• 점근적으로 $ n^{1/2}(\hat{\theta}_n - \theta_0) $ 는 평균이 0이고, 공분산 행렬 $ \Omega^{-1} $ 을 갖는 다변량 정규분포를 따른다. 여기서 $ \Omega $ 는 스펙트럼 밀도와 점수 함수를 통해 정의된다.
• 증명 과정에서 잘라내기 오차가 점근적으로 무시할 수 있음을 입증한다: $ r_n(\theta_0) - r_n^*(\theta_0) = o_p(n^{-1/2}) $, 이는 $ \mathbb{E}[(e_t - \varepsilon_t)^2] \leq K t^{-1} $ 이지만 이는 표준 추론에 부족함을 보여준다.
• 핵심 기술적 기여는 잔차 오차 항의 $ L^2 $-노름을 로그 감쇠율을 사용해 제어하는 데 있다: 구체적으로 $ \|h_t - \rho_t\|^2 \leq K (\log t)^2 / t $ 이며, 이는 $ o_p(n^{-1/2}) $ 결과를 가능하게 한다.
• 오차항 $ \varepsilon_t $ 가 평균 0, 유한한 네 번째 모멘트를 가지며, $ \alpha(s; \theta) $ 가 $ \theta $ 에 대해 두 번 연속 미분 가능할 경우, 점근적 정규성 결과가 성립한다.
• 제시된 조건 하에서 공분산 행렬 $ \Omega $ 는 정의역이 양의 정부호이므로, 점근적 정규분포는 비퇴화적이며, 추정량은 장기적 기억 맥락에서 점근적으로 효율적이다.