[논문 리뷰] Conditional Value-at-Risk: Theory and Applications

Jakob Kisiala|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 31.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 학위논문은 금융 리스크 측도로서의 조건부가치손실(CVaR)과 동시에 새로운 벡터 노름으로서의 CVaR를 제안하며, 새로운 이론적 증명과 응용을 제시한다. 포트폴리오 최적화 및 모델 복원에서 CVaR의 유용성을 입증하며, 이는 바이너리합 신호 복원에서는 $L_\infty$를 능가할 수 있으나 희박한 신호 복원에서는 $L_1$에 뒤지며, 주요 기여로는 노름 등가성에 대한 대체 증명과 새로운 조각별 볼록성 성질이 포함된다.

ABSTRACT

This thesis presents the Conditional Value-at-Risk concept and combines an analysis that covers its application as a risk measure and as a vector norm. For both areas of application the theory is revised in detail and examples are given to show how to apply the concept in practice. In the first part, CVaR as a risk measure is introduced and the analysis covers the mathematical definition of CVaR and different methods to calculate it. Then, CVaR optimization is analysed in the context of portfolio selection and how to apply CVaR optimization for hedging a portfolio consisting of options. The original contributions in this part are an alternative proof of Acerbi's Integral Formula in the continuous case and an explicit programme formulation for portfolio hedging. The second part first analyses the Scaled and Non-Scaled CVaR norm as new family of norms in $\mathbb{R}^n$ and compares this new norm family to the more widely known $L_p$ norms. Then, model (or signal) recovery problems are discussed and it is described how appropriate norms can be used to recover a signal with less observations than the dimension of the signal. The last chapter of this dissertation then shows how the Non-Scaled CVaR norm can be used in this model recovery context. The original contributions in this part are an alternative proof of the equivalence of two different characterizations of the Scaled CVaR norm, a new proposition that the Scaled CVaR norm is piecewise convex, and the entire \autoref{chapter:Recovery_using_CVaR}. Since the CVaR norm is a rather novel concept, its applications in a model recovery context have not been researched yet. Therefore, the final chapter of this thesis might lay the basis for further research in this area.

연구 동기 및 목표

• 포트폴리오 최적화에서 CVaR를 일관된 리스크 측도로 정립하기 위해.
• 스케일링된 및 비스케일링된 CVaR 노름을 $\mathbb{R}^n$ 내 새로운 벡터 노름 가족으로 개발하고 분석하기 위해.
• 관측 수가 신호 차원보다 적은 경우 비스케일링된 CVaR 노름이 모델 복원 문제에 효과적으로 사용될 수 있는지 조사하기 위해.
• CVaR 노름과 $L_p$ 노름의 행동을 비교하고 계산 효율성을 평가하기 위해.
• 원자 노름 기반 CVaR 기반 모델 복원에 대한 향후 연구의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 연속적인 경우에 대해 적분 공식을 이용해 CVaR를 VaR 기준 초과 손실의 기대값으로 유도하며, 새로운 증명을 제시한다.
• 옵션 포트폴리오의 CVaR를 최소화하기 위한 선형 프로그램 설정을 통해 CVaR 최적화를 포트폴리오 선택 및 헤징에 적용한다.
• 스케일링된 및 비스케일링된 CVaR 노름을 정의하고, 대체 유도를 통해 그 등가성을 증명하며, 스케일링된 CVaR 노름이 조각별 볼록임을 입증한다.
• 원자 노름 하에서 모델 복원 조건을 분석하기 위해 볼록 기하학 도구(접선 원뿔 및 가우시안 폭)를 사용한다.
• 다양한 신호 유형에 대해 CVaR 노름, $L_1$ 및 $L_\infty$ 노름의 복원 성능을 평가하기 위해 수치 실험을 수행한다.
• $C_\alpha$ 및 $L_p$ 노름의 기하적 성질을 비교하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션과 단위구의 시각화를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 경우에 대해 CVaR에 대한 Acerbi의 적분 공식을 대체 적분 공식을 통해 엄밀하게 재증명할 수 있는가?
• RQ2 관측 수가 신호 차원보다 적은 경우 비스케일링된 CVaR 노름이 모델 복원에 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ3 CVaR 노름이 $k$-희박한 신호 및 바이너리합 신호 복원에서 $L_1$ 및 $L_\infty$ 노름과 비교해 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ4 CVaR 노름의 신뢰수준 $\alpha$와 $L_p$ 공간 내 $p$-노름 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 CVaR 노름의 기하학적 및 계산적 성질은 $L_p$ 노름과 비교해 어떻게 다른가?

주요 결과

• CVaR에 대한 Acerbi의 적분 공식에 대한 대체 증명이 제시되어 연속적인 경우에 이론적 기반을 강화한다.
• 옵션 거래에서의 실용적 구현을 가능하게 하는 포트폴리오 헤징에서 CVaR를 최소화하기 위한 새로운 선형 프로그램 설정이 개발되었다.
• 스케일링된 CVaR 노름이 조각별 볼록임을 증명하였으며, 이는 이론적 매력도를 높이는 새로운 성질이다.
• 수치 실험 결과, CVaR 노름은 $k$개의 바이너리 벡터의 합으로 이루어진 신호 복원에서 $L_\infty$보다 약간 우수한 성능을 보였다.
• CVaR 노름은 $k$-희박한 벡터 복원에서는 $L_1$에 뒤지며, 이는 표준 희박 복원 작업에 대한 제한된 적합성을 시사한다.
• $\alpha$의 선택은 CVaR 노름의 단위구 기하학에 상당한 영향을 미치며, 이는 최적의 성능이 $\alpha$의 철저한 선택에 달려 있을 수 있음을 시사한다.