[논문 리뷰] Conditionally Optimal Approximation Algorithms for the Girth of a Directed Graph

Mina Dalirrooyfard, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 방향 그래프의 지름에 대해 조건부 최적의 근사 알고리즘을 제시하며, 조합적 방법을 사용하여 가중치가 있는 그래프에서 Õ(m√n) 시간에 (2+ε)-근사값을 얻고, 무게가 없는 그래프에서는 Õ(mn³⁴) 시간에 2-근사값을 달성한다. k-사이클 가설에 기반해, 어떤 (2−ε)-근사 알고리즘도 o(mn) 시간 내에 실행될 수 없음을 증명함으로써, 이는 하위제곱 시간 알고리즘의 근사 인자에 대해 날카로운 하한을 설정한다.

ABSTRACT

It is known that a better than $2$-approximation algorithm for the girth in dense directed unweighted graphs needs $n^{3-o(1)}$ time unless one uses fast matrix multiplication. Meanwhile, the best known approximation factor for a combinatorial algorithm running in $O(mn^{1-ε})$ time (by Chechik et al.) is $3$. Is the true answer $2$ or $3$? The main result of this paper is a (conditionally) tight approximation algorithm for directed graphs. First, we show that under a popular hardness assumption, any algorithm, even one that exploits fast matrix multiplication, would need to take at least $mn^{1-o(1)}$ time for some sparsity $m$ if it achieves a $(2-ε)$-approximation for any $ε>0$. Second we give a $2$-approximation algorithm for the girth of unweighted graphs running in $ ilde{O}(mn^{3/4})$ time, and a $(2+ε)$-approximation algorithm (for any $ε>0$) that works in weighted graphs and runs in $ ilde{O}(m\sqrt n)$ time. Our algorithms are combinatorial. We also obtain a $(4+ε)$-approximation of the girth running in $ ilde{O}(mn^{\sqrt{2}-1})$ time, improving upon the previous best $ ilde{O}(m\sqrt n)$ running time by Chechik et al. Finally, we consider the computation of roundtrip spanners. We obtain a $(5+ε)$-approximate roundtrip spanner on $ ilde{O}(n^{1.5}/ε^2)$ edges in $ ilde{O}(m\sqrt n/ε^2)$ time. This improves upon the previous approximation factor $(8+ε)$ of Chechik et al. for the same running time.

연구 동기 및 목표

• 방향 그래프에서 하위제곱 시간 근사 알고리즘의 최선 근사 인자와 조건부 하한 사이의 격차를 메우기.
• 이전 방법보다 더 나은 근사 비율을 달성하면서도 하위제곱 실행 시간을 유지하는 조합적 알고리즘 개발.
• k-사이클 가설 하에 (2−ε)-근사 알고리즘이 Ω(mn¹⁻ᵒ⁽¹⁾) 시간이 필요함을 보여주는 조건부 하한 설정.
• 기존 작업보다 개선된 근사 비율과 유사한 실행 시간을 갖는 방향 그래프에서의 라운드트립 스파너 구축 개선.

제안 방법

• k-사이클 가설을 활용해 (2−ε)-근사 알고리즘에 대한 조건부 하한을 유도함으로써, 이러한 알고리즘이 Ω(mn¹⁻ᵒ⁽¹⁾) 시간이 필요함을 보임.
• 스케일링 기법 도입: 간선 가중치를 R = Wε/n로 나누어 범위를 이산화함으로써 변환된 그래프 H에서 효율적인 근사 계산 가능.
• 스케일된 그래프 H에 기반한 기본 근사 알고리즘 A를 적용해 (2k + O(ε))-근사값을 얻은 후, 가중치 복원을 통해 원본 그래프 G로 결과를 복원.
• 간선 가중치에 대한 이진 탐색을 사용해, 모든 간선 가중치 ≤ W인 사이클이 존재하는 최소 W를 계산함으로써 지름에 대한 하한을 확보.
• 무작위 정점 색칠과 사이클 압축을 활용해 k-사이클 탐지 문제를 지름 근사 문제로 환원함으로써, 복잡도 감소 가능.
• 표준 기법을 사용해 k-사이클 탐지 절차를 결정론적으로 변환함으로써 다항로그 시간 오버헤드 내에 결정론적 정확도 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합리적인 복잡도 가정 하에, 방향 그래프의 지름에 대해 (2−ε)-근사 알고리즘이 o(mn) 시간 내에 실행될 수 있는가?
• RQ2 Õ(mn¹⁻ε) 시간 내에 3-근사 인자를 달성하는 것은 최적인가, 아니면 2로 개선될 수 있는가?
• RQ3 조합적 알고리즘이 가중치가 있는 방향 그래프에서 (2+ε)-근사 지름을 하위제곱 시간 내에 달성할 수 있는가?
• RQ4 기존 작업보다 더 나은 근사 비율과 유사한 실행 시간을 갖는 라운드트립 스파너를 구성할 수 있는가?
• RQ5 미세 복잡도 가정 하에, Õ(mn¹⁻ε) 시간 내에 도달 가능한 가장 날카로운 근사 인자는 무엇인가?

주요 결과

• k-사이클 가설 하에, 방향 그래프의 지름에 대해 (2−ε)-근사 알고리즘은 o(mn) 시간 내에 실행될 수 없으며, 이는 조건부 하한을 설정한다.
• 무게가 없는 방향 그래프에 대해 2-근사 알고리즘은 Õ(mn³⁴) 시간 내에 실행되며, 이는 이전 최선의 3-근사 알고리즘(Õ(m√n) 시간)보다 향상된 성능이다.
• 가중치가 있는 방향 그래프에 대해 (2+ε)-근사 알고리즘은 Õ(m√n) 시간 내에 실행되며, 이는 이전 작업과 동일한 실행 시간을 유지하지만 더 나은 근사 비율을 달성한다.
• 지름에 대해 (4+ε)-근사 알고리즘은 Õ(mn√²⁻¹) 시간 내에 실행되며, Chechik 등이 이전에 제시한 Õ(m√n) 시간보다 빠른 최적화된 실행 시간을 확보한다.
• Õ(n¹·⁵/ε²)개 간선을 갖는 (5+ε)-근사 라운드트립 스파너는 Õ(m√n/ε²) 시간 내에 구성 가능하며, 이는 이전의 (8+ε)에서 (5+ε)로 근사 비율을 향상시킨다.
• 논문은 2-근사 인자가 하위제곱 시간 알고리즘에 대해 조건부 최적이며, 이를 초월하는 개선은 k-사이클 탐지의 돌파구를 의미함을 증명한다.