[논문 리뷰] Conditioned local limit theorems for random walks on the real line

Ion Grama, Hui Xiao|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실수선 위의 무작위 보행에 대해 조건부 국소극한정리들을 수립하며, 경계선에 가까운 경우 또는 먼 경우에 시작할 때의 퇴출 시간 분포와 조건부 기대값에 대한 정밀한 점근 전개를 도출한다. 이는 명시적인 오차 한계와 비틀림이 없는 증분을 가진 중간편차 영역까지 확장된 첫 번째 통과 시간 확률 $\mathbb{P}(\tau_x = n)$에 대한 새로운 점근적 성질을 제공한다.

ABSTRACT

Consider a random walk $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ with independent and identically distributed real-valued increments $X_i$ of zero mean and finite variance. Assume that $X_i$ is non-lattice and has a moment of order $2+δ$. For any $x\geq 0$, let $τ_x = \inf \left\{ k\geq 1: x+S_{k} < 0 ight\}$ be the first time when the random walk $x+S_n$ leaves the half-line $[0,\infty)$. We study the asymptotic behavior of the probability $\bb P (τ_x >n)$ and that of the expectation $\mathbb{E} \left( f(x + S_n ), τ_x > n ight)$ for a large class of target function $f$ and various values of $x$, $y$ possibly depending on $n$. This general setting implies limit theorems for the joint distribution $\mathbb{P} \left( x + S_n \in y+ [0, Δ], τ_x > n ight)$ where $Δ>0$ may also depend on $n$. In particular, the case of moderate deviations $y=σ\sqrt{q n\log n}$ is considered. We also deduce some new asymptotics for random walks with drift and give explicit constants in the asymptotic of the probability $\bb P (τ_x =n)$. For the proofs we establish new conditioned integral limit theorems with precise error terms.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 함수 $f$와 다양한 $x$에 대해 $\mathbb{P}(\tau_x > n)$ 및 $\mathbb{E}[f(x+S_n) \mathbf{1}_{\{\tau_x > n\}}]$ 의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 특히 중간편차 영역인 $y = \sigma\sqrt{qn\log n}$ 에서의 경우, $\Delta$ 가 $n$ 에 따라 달라질 수 있는 $\mathbb{P}(x+S_n \in y+[0,\Delta], \tau_x > n)$ 의 공동분포에 대한 국소극한정리를 도출하는 것.
• $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ 에 대한 날카로운 점근적 성질을 명시적인 상수와 함께 수립하여, 고전적인 확산 근사 이론을 넘어서는 결과를 확장하는 것.
• 조화함수와 쌍대성 항등식을 사용하여 정밀한 수렴 속도를 갖는 새로운 조건부 적분극한정리를 개발하는 것.
• 근처 경계 및 먼 경계 영역 모두에서 퇴출 시간 분포에 대한 비점근적 한계와 균일한 추정치를 제공하는 것.

제안 방법

• 죽은 무작위 보행 $x + S_n$ 과 관련된 조화함수 $V(x) = -\mathbb{E}[S_{\tau_x}]$ 를 사용하며, 이는 조화성 방정식 $\mathbb{E}[V(x+S_1) \mathbf{1}_{\{x+S_1 \geq 0\}}] = V(x)$ 를 만족한다.
• 퇴출 시간 분포를 재생 함수 $U(x)$ 와 연결하기 위해 쌍대성 항등식과 재생이론을 적용하며, $U(x) = V(x)/V(0)$ 라고 정의된다.
• 조건부 밀도의 밀도 함수를 기반으로 한 비점근적 조건부 국소극한정리를 사용하며, $V(x)$ 와 $n$ 에 대한 명시적인 오차 항을 포함한다.
• 표준 정규분포 밀도와 지수항을 포함하는 적분 표현을 통해 정밀한 나머지 추정치를 도출하며, $1 - e^{-u}$ 와 $e^u$ 에 대한 추정치를 활용한다.
• 레미마 3.7 을 적용하여 다양한 영역에서 $x$ 와 $V(x)$ 의 편차를 제어함으로써, $x \in [n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ 에서 균일한 추정치를 확보한다.
• 이러한 추정치를 조건부 적분극한정리의 정리들(정리 2.7 및 2.8)과 조합하여 명시적인 오차 한계를 갖는 최종 점근 전개를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계선에 가까운 경우 또는 먼 경우에 시작할 때, $x$ 와 $y$ 가 $n$ 과 함께 증가하는 경우, $\mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n)$ 의 정밀한 점근적 행동은 어떻게 되는가? 특히 중간편차 영역인 $y = \sigma\sqrt{qn\log n}$ 에서의 행동을 묻는다.
• RQ2 일반적인 시험함수 $f$ 에 대해 조건부 모멘트 $\mathbb{E}[f(x + S_n) \mathbf{1}_{\{\tau_x > n\}}]$ 는 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ3 $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ 의 점근 전개에서 명시적인 상수와 오차 항은 무엇인가? 이는 비틀림이 없는 증분과 유한한 $(2+\delta)$-차 모멘트를 가진 무작위 보행에 대해 적용된다.
• RQ4 조건부 분포 $x + S_n$ 이 $\tau_x > n$ 을 조건으로 할 때, 비점근적 국소극한정리를 균일한 오차 한계와 함께 수립할 수 있는가?
• RQ5 시작점 $x$ 가 $\sqrt{n}$ 과 비교해 너무 빨리 증가하지 않는 한, 조건부 퇴출 시간 확률은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• $x \in [n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ 인 경우, 확률 $\mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n)$ 는 $V(x)$, $\sigma$, 그리고 표준정규분포의 상측분포함수 $\Phi^+(t)$ 를 포함하는 점근 전개를 가지며, 오차는 $O(n^{-1/2})$ 이다.
• $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ 의 점근적 성질은 $n \to \infty$ 일 때 $\frac{2V(x)}{\sigma \sqrt{2\pi n}} \left(1 + o(1)\right)$ 로 주어지며, $[n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ 의 $x$ 에 대해 균일하게 성립한다.
• $x \in [n^\beta, n^{1/2 - \varepsilon}]$ 이고 $\beta < 1/2 - \varepsilon$ 인 경우, 점근 전개의 오차는 $O(n^{-\varepsilon \beta})$ 로 유계이며, 수렴 속도가 향상된다.
• 조건부 국소극한정리는 $x$ 에 대해 균일하게 성립하며 명시적인 오차 한계를 갖는다: $\left| \mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n) - \frac{2V(x)}{\sigma \sqrt{2\pi n}} \Phi^+(t) \right| \leq c \frac{x^2}{n}$.
• 논문은 적분 표현과 $1 - e^{-u}$, $e^u$ 에 대한 추정치를 사용하여 정밀한 나머지 항을 포함하는 비점근적 국소극한정리를 수립한다.
• 이러한 결과는 조화함수 $V(x)$ 를 통해 비틀림이 있는 무작위 보행으로 확장되며, 비틀림이 있는 경우의 퇴출 시간 확률에 대한 새로운 점근적 성질을 제공한다.