[논문 리뷰] Conditioning of Gaussian processes and a zero area Brownian bridge

Maik Görgens|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동이 시간 1에서 고정되고 전체 면적이 0이 되도록 조건화된 바와 같이, 여러 개의 선형 함수형이 0이 되도록 조건화함으로써 가우시안 프로세스를 일반화한다. 지르산프의 정리와 명시적 SDE 유도를 통해 조건화된 과정이 시간에 따라 변하는 마르코프 SDE를 따르며, 특히 영역이 0인 브라운 다리가 중요한 예시로, 예측 가능 및 비예측 가능한 표현을 통해 명시적으로 유도된다.

ABSTRACT

We generalize the notion of Gaussian bridges by conditioning Gaussian processes given that certain linear functionals of the sample paths vanish. We show the equivalence of the laws of the unconditioned and the conditioned process and by an application of Girsanov's theorem, we show that the conditioned process follows a stochastic differential equation (SDE) whenever the unconditioned process does. In the Markovian case, we are able to determine the coefficients in the SDE of the conditioned process explicitly. Our main example is Brownian motion on $[0,1]$ pinned down in 0 at time 1 and conditioned to have vanishing area spanned by the sample paths.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 가우시안 프로세스를 점 평가 외에도 여러 개의 선형 함수형이 0이 되도록 조건화함으로써 가우시안 브리지의 일반화를 시도한다.
• 그러한 조건화 하에서 조건화되지 않은 프로세스와 조건화된 프로세스의 법칙이 동치임을 확립한다.
• 지르산프의 정리를 사용하여 조건화된 프로세스에 대한 비예측 가능한 스토케스틱 미분 방정식(SDE)을 유도한다.
• 영역이 0인 브라운 다리와 같은 새로운 조건화 프로세스에 대해 예측 가능 및 비예측 가능한 표현을 명시적으로 제공한다.
• 두 차원 프로세스 (M_s, J_s) 가 시간에 따라 변하는 마르코프 과정임을 보여준다.

제안 방법

• 카라테오도리의 확장 정리를 통해 정규 조건부 확률을 사용하여 유한 개의 선형 함수형 a ∈ A 가 0이 되는 사건에 대해 가우시안 프로세스 X 를 조건화한다.
• 유한 시간 간격에서 조건화되지 않은 프로세스와 조건화된 프로세스의 법칙이 동치임을 지르산프의 정리를 통해 보여준다.
• 힐버트 공간에서의 정규직교 프로젝션을 통해 예측 가능 표현을 유도하며, 공식 X^{(A)}_s = X_s - ∑_{i=1}^n ξ_i a_i(X) f_i(s) 를 사용한다. 여기서 ξ_i 는 선형 시스템의 해이다.
• 조건부 기대값의 극한을 계산하여 비예측 가능한 SDE의 드리프트 항을 유도한다: δ(s,M) = lim_{r↓0} (𝔼[M_{s+r}|ℱ_s^M] - M_s)/r.
• 원래 프로세스(예: 브라운 운동)의 마르코프 성질을 이용하여 조건화 하에서 쌍 (M_s, J_s) 가 마르코프적임을 보여준다.
• 공분산 구조를 포함하는 선형 방정식 시스템을 풀어 조건부 기대값 𝔼[M_t|ℱ_s^M] 를 계산함으로써 SDE의 명시적 드리프트 계수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 가우시안 프로세스를 브라운 다리와 같은 점 조건화를 초월하여, 영역가 0이 되는 것과 같은 여러 선형 제약 조건으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 조건화된 프로세스의 법칙이 원래 프로세스와 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 지르산프의 정리를 사용하여 조건화된 프로세스에 대한 비예측 가능한 SDE 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 영역가 0인 브라운 다리의 SDE에서 드리프트의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 두 차원 프로세스 (M_s, J_s) 가 조건화된 측도 하에서 마르코프적인가?

주요 결과

• 영역이 0인 브라운 다리 M 은 SDE dM_s = dW_s - 4M_s/(1-s) ds - 6J_s/(1-s)^2 ds 를 만족하며, M_0 = 0 이고 J_s = ∫₀^s M_x dx 이다.
• M 의 예측 가능 표현은 M_s = W_s - s(3s - 2)W_1 - 6s(1-s)I_1 이며, 여기서 I_1 = ∫₀¹ W_x dx 이다.
• 모든 s < 1 에 대해 측도 ℙ_W 와 ℙ_M 가 ℱ_s 에서 동치이므로 지르산프의 측도 변화의 유효성이 보장된다.
• 두 차원 프로세스 (M_s, J_s) 는 시간에 따라 변하는 마르코프 과정이며, 전이 기대값은 D_s ξ = d_s 를 포함하는 선형 시스템을 풀어 결정된다.
• 드리프트 계수 δ(s,M) 는 조건부 기대값의 극한을 통해 명시적으로 -4M_s/(1-s) - 6J_s/(1-s)^2 로 계산된다.
• 조건화된 프로세스 M 의 공분산은 R_M(s,t) = R_W(s,t) - R_W(s,1)R_W(t,1)/R_W(1,1) + 적분 제약 조건을 포함하는 항들로 일반화된 표준 브리지 공식을 이룬다.