[논문 리뷰] Conditions for Convergence of Dynamic Regressor Extension and Mixing Parameter Estimator Using LTI Filters

Bowen Yi, Roméo Ortega|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 30.

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한 줄 요약

이 논문은 LTI 필터를 사용하여 확장 회귀식을 생성할 때 DREM 파rameter 추정기의 수렴 조건을 설정한다. 지속적인 자극(Persistent Excitation, PE) 조건이 원래의 회귀식에 대해 만족되면 DREM 스칼라 회귀식의 PE 성질이 유지되어 지수 수렴이 보장되며, 구간 자극(Interval Excitation, IE) 조건이 만족될 경우 IE 성질도 유지되어 DREM 하에서 유한 시간 수렴이 가능함을 증명한다. 이러한 결과는 거의 확실한 의미에서 입증되었다.

ABSTRACT

In this note we study the conditions for convergence of recently introduced dynamic regressor extension and mixing (DREM) parameter estimator when the extended regressor is generated using LTI filters. In particular, we are interested in relating these conditions with the ones required for convergence of the classical gradient (or least squares), namely the well-known persistent excitation (PE) requirement on the original regressor vector, $ϕ(t) \in \mathbb{R}^q$, with $q \in \mathbb{N}$ the number of unknown parameters. Moreover, we study the case when only interval excitation (IE) is available, under which DREM, concurrent and composite learning schemes ensure global convergence, being the convergence for DREM in finite time. Regarding PE we prove that, under some mild technical assumptions, if $ϕ(t)$ is PE then the scalar regressor of DREM, $Δ(t) \in \mathbb{R}$, is also PE, ensuring exponential convergence. Concerning IE we prove that if $ϕ(t)$ is IE then $Δ(t)$ is also IE. All these results are established in the almost sure sense, namely proving that the set of filter parameters for which the claims do not hold is of zero measure. The main technical tool used in our proof is inspired by a study of Luenberger observers for nonautonomous nonlinear systems recently reported in the literature.

연구 동기 및 목표

• 확장 회귀식이 LTI 필터를 통해 생성될 때 DREM 파rameter 추정기의 수렴 조건을 설정하는 것.
• DREM의 수렴 성질을 기존의 경사법 및 최소 제곱법 추정기에 요구되는 고전적인 지속적인 자극(PE) 조건과 연관짓는 것.
• 오직 구간 자극(IE) 조건만 존재할 경우를 분석하고, DREM이 전역 수렴을 보장하는지 여부를 규명하는 것.
• 약간의 기술적 가정 하에 DREM 스칼라 회귀식이 원래의 회귀식으로부터 PE 또는 IE 성질을 상속받는다는 것을 증명하는 것.
• 거의 확실한 의미에서 수렴 결과를 확립하여 수렴에 실패하는 필터 파ram터 값의 집합이 영도 measure를 가짐을 보여주는 것.

제안 방법

• 최근의 비자율 비선형 시스템에 대한 Luenberger 관측기 이론을 활용하여 DREM 추정기를 비자율 비선형 시스템에 대한 Luenberger 관측기로 재구성한다.
• 원래의 회귀식 벡터 φ(t)에 LTI 필터를 적용하여 확장된 회귀식 Φ(t)를 생성하며, 정칙성 확보를 위해 필터의 수를 q+1로 설정한다.
• 파ram터 추정 오차 동역학은 행렬 Φᵀ(t)Φ(t)를 통해 분석되며, 수렴성은 도출된 스칼라 회귀식 Δ_N(t)의 성질을 통해 연구된다.
• 증명 기법은 최근의 비자율 비선형 시스템에 대한 Luenberger 관측기 이론을 시간에 따라 변하는 선형 오차 동역학을 갖는 DREM에 적응하여 적용한다.
• 수렴에 실패하는 필터 파ram터 값의 집합이 르베그 측도가 0임을 보여줌으로써 거의 확실한 수렴을 확립한다.
• 지속적인 자극(PE)과 구간 자극(IE)의 경우를 구분하여 분석하고, DREM 스칼라 회귀식에서도 PE 및 IE 성질이 유지됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래의 회귀식 φ(t)에 대해 어떤 조건을 만족할 경우, LTI 필터를 사용하는 DREM 추정기가 지수 수렴을 달성하는가?
• RQ2 원래의 회귀식 φ(t)가 PE 조건을 만족할 경우, DREM 스칼라 회귀식 Δ_N(t)도 PE 성질을 상속받는가?
• RQ3 원래의 회귀식에 오직 구간 자극(IE) 조건만 존재할 경우, DREM 추정기가 전역 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ4 φ(t)가 IE 조건을 만족할 경우, 스칼라 회귀식 Δ_N(t)도 역시 구간 자극 가능성이 있으며, 이는 DREM에서 파라미터 오차의 유한 시간 수렴을 이끌어내는가?
• RQ5 수렴 주장에 실패하는 필터 파aram터 값의 측도는 얼마이며, 이는 어떻게 증명되는가?

주요 결과

• 원래의 회귀식 φ(t)가 지속적인 자극(PE) 조건을 만족할 경우, 약간의 기술적 가정 하에 DREM 스칼라 회귀식 Δ_N(t) 역시 PE 성질을 갖게 되며, 이는 파라미터 추정의 지수 수렴을 보장한다.
• PE 조건 하에서 DREM 추정기의 수렴은 거의 확실한 의미에서 입증되었으며, 수렴에 실패하는 필터 파aram터 값의 집합이 르베그 측도가 0임을 의미한다.
• 원래의 회귀식 φ(t)가 구간 자극(IE) 조건을 만족할 경우, DREM 스칼라 회귀식 Δ_N(t) 역시 IE 조건을 만족하게 되어 파라미터 추정의 전역 수렴이 가능해진다.
• IE 조건 하에서 DREM 추정기는 파라미터 오차의 유한 시간 수렴을 달성한다. 이는 고전적 추정기들에 비해 뚜렷한 개선이다.
• 최근의 비자율 비선형 시스템에 대한 Luenberger 관측기 프레임워크를 적응시킴으로써 결과는 비자율 시스템으로까지 확장된다.
• 기술적 증명은 시간에 따라 변하는 선형 시스템에 관측기 이론을 새로운 방식으로 적용하여, DREM 추정기가 더 약한 자극 조건 하에서도 강건함을 입증한다.