[논문 리뷰] Conditions implying the uniqueness of the weak$^*$-topology on certain group algebras

Matthew Daws, Hung Le Pham외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정 군 대수—특히 측도 대수 $M(G)$와 푸리에 대수 $A(G)$—의 약한$^*$-위상이 그들의 표준적 전조군에 의해 유일하게 결정되는 조건을 설정한다. 공조합성 곱이 약한$^*$-연속임을 요구함으로써, 저자들은 $M(G)$에 대해 $C_0(G)$가 유일한 전조군이며 $A(G)$에 대해 $C^*(G)$가 유일한 전조군임을 증명한다. 이는 이중 코hom로지컬 성질이 위상 선택과 무관하게 잘 정의됨을 보장한다.

ABSTRACT

We investigate possible preduals of the measure algebra $M(G)$ of a locally compact group and the Fourier algebra $A(G)$ of a separable compact group. Both of these algebras are canonically dual spaces and the canonical preduals make the multiplication separately weak$^*$-continuous so that these algebras are dual Banach algebras. In this paper we find additional conditions under which the preduals $C_0(G)$ of $M(G)$ and $C^*(G)$ of $A(G)$ are uniquely determined. In both cases we consider a natural coassociative multiplication and show that the canonical predual gives rise to the unique weak$^*$-topology making both the multiplication separately weak$^*$-continuous and the coassociative multiplication weak$^*$-continuous. In particular, dual cohomological properties of these algebras are well defined with this additional structure.

연구 동기 및 목표

• 이중 바나흐 대수에서 약한$^*$-위상의 비유일성 문제를 해결하기 위해 표준적 전조군을 고정하는 조건을 규명하는 것.
• 지역적으로 컴act인 군 $G$에 대해, 공조합성 곱이 약한$^*$-연속일 경우, 측도 대수 $M(G)$의 약한$^*$-위상이 $C_0(G)$에 의해 유일하게 유도됨을 보여주는 것.
• 이러한 유일성 결과를 분리 가능성이 있는 컴팩트 군의 푸리에 대수 $A(G)$로 확장하여, $C^*(G)$가 공호프 대수 연산이 약한$^*$-연속이 되게 하는 유일한 등거리 전조군임을 증명하는 것.
• von Neumann 대수 역시 곱셈이 각각 약한$^*$-연속이 되게 하는 유일한 약한$^*$-위상을 지닌다는 것을 확립하여, 이전의 가환 경우에 대한 결과를 일반화하는 것.
• 다양한 약한$^*$-위상으로 인한 모호성을 제거함으로써, 코호몰로지 불변량(예: 콘네-아메니터블리티)이 잘 정의됨을 보장하는 것.

제안 방법

• 공조합성 호프 대수 구조를 $M(G)$와 $A(G)$에 적용하여, 코승법의 약한$^*$-연속성에 의해 가능한 전조군을 제약하는 것.
• $M(G)$와 $A(G)$의 약한$^*$-위상을 각각 $\tilde{M}(G)$와 $VN(G)$의 $C^*$-부분대수인 전조군 $E$로 식별하는 것.
• 겔판드 이중성과 스펙트럼 이론을 적용하여, $E$의 특성 공간이 $G$와 위상동형이어야 하며, 이는 $M(G)$의 경우 $E = C_0(G)$를 강제함을 보이는 것.
• 겔판드-나이마르크-세갈 구성과 표현 이론을 활용하여 $E$의 스펙트럼을 단위군 이중 $\hat{G}$와 연결함으로써 이산성과 군 구조와의 호환성을 확보하는 것.
• 아렌스 정규성과 $\mathcal{B}(E)$ 및 $\mathcal{M}^*$의 이중성 구조를 이용하여 von Neumann 대수에서 전조군의 유일성을 증명하는 것.
• 모순에 의한 증명: 비표준 전조군이 존재한다고 가정하면, 공조합성 곱의 약한$^*$-연속성 또는 스펙트럼의 이산성과 모순됨을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 대수 $M(G)$의 약한$^*$-위상이 그 표준적 전조군 $C_0(G)$에 의해 유일하게 결정되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 분리 가능성이 있는 컴팩트 군에 대해, 푸리에 대수 $A(G)$의 표준적 전조군 $C^*(G)$는 공조합성 곱의 약한$^*$-연속성에 의해 유일하게 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 $M(G)$의 약한$^*$-위상의 유일성은 비이산적인 국소적으로 컴팩트 군으로까지 확장되는가? 그리고 이러한 성질을 강제하는 구조적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 공조합성 호프 대수 구조는 이중 바나흐 대수의 가능한 전조군을 어떻게 제약하는가?
• RQ5 von Neumann 대수에서 곱셈의 각각의 약한$^*$-연속성에 의해 약한$^*$-위상이 전조군 선택과 무관하게 유일하게 결정되는가?

주요 결과

• 모든 국소적으로 컴팩트 군 $G$에 대해, 공조합성 곱이 약한$^*$-연속일 경우 측도 대수 $M(G)$는 $C_0(G)$에 의해 유일한 약한$^*$-위상을 지닌다.
• 분리 가능성이 있는 컴팩트 군 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$는 공호프 대수 연산이 약한$^*$-연속이 되게 하는 유일한 등거리 전조군 $C^*(G)$를 지닌다.
• $M(G)$의 표준적 전조군인 $C_0(G)$는 $\ell^\infty(G)$의 닫힌 부분공간 $E \subseteq \ell^\infty(G)$로서 공조합성 곱이 약한$^*$-연속이 되고 $E$가 $C^*$-부분대수임을 만족하는 유일한 것이다.
• $A(G)$에 대해 약한$^*$-위상을 유도하는 임의의 약한$^*$-닫힘 $C^*$-부분대수 $E \subseteq VN(G)$의 스펙트럼은 반드시 이산적이며 $\hat{G}$와 위상동형이어야 하며, 이는 $E = C^*(G)$를 강제한다.
• von Neumann 대수들은 곱셈이 각각 약한$^*$-연속이 되게 하는 유일한 약한$^*$-위상을 지닌다. 이 위상은 자동으로 수반 연산이 약한$^*$-연속이 되게 한다.
• 이중 바나흐 대수에서 아렌스 정규성, 제2이중에서의 유니터리 성질, 그리고 제2이중에서의 아이디얼 성질을 만족할 경우, 약한$^*$-위상은 유일하게 결정된다.