[논문 리뷰] Cones over pseudo-Riemannian manifolds and their holonomy

Dmitri V. Alekseevsky, Vicente Cortés외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비유클리드 계량 원뿔의 호로노미 성질을 조사하며, 갈로의 고전적인 리만 기하학 결과를 부정부정 부호로 확장한다. 압축 가능하고 완비된 비유클리드 다양체 위의 원뿔은 평탄하거나 분해 불가능한 호로노미를 가지며, 라우렌티안의 경우와 보조 이sovotropic 분포를 갖는 원뿔의 국소 호로노미 대수를 완전히 분류한다.

ABSTRACT

By a classical theorem of Gallot (1979), a Riemannian cone over a complete Riemannian manifold is either flat or has irreducible holonomy. We consider metric cones with reducible holonomy over pseudo-Riemannian manifolds. First we describe the local structure of the base of the cone when the holonomy of the cone is decomposable. For instance, we find that the holonomy algebra of the base is always the full pseudo-orthogonal Lie algebra. One of the global results is that a cone over a compact and complete pseudo-Riemannian manifold is either flat or has indecomposable holonomy. Then we analyse the case when the cone has indecomposable but reducible holonomy, which means that it admits a parallel isotropic distribution. This analysis is carried out, first in the case where the cone admits two complementary distributions and, second for Lorentzian cones. We show that the first case occurs precisely when the local geometry of the base manifold is para-Sasakian and that of the cone is para-Kählerian. For Lorentzian cones we get a complete description of the possible (local) holonomy algebras in terms of the metric of the base manifold.

연구 동기 및 목표

• 유도적 기하학에서 원뿔의 갈로의 정리를 비유클리드 다각형에 대한 부정부정 부호로 일반화한다.
• 원뿔의 분해 가능하거나 분해 가능한 호로노미를 가질 경우 기저 다각형의 국소적 및 전역 기하학적 성질을 특성화한다.
• 완비된 다각형 위의 라우렌티안 원뿔과 평행한 이sovotropic 분포를 갖는 원뿔의 가능한 호로노미 대수를 분류한다.
• 압축 가능하고 완비된 비유클리드 다각형 위의 원뿔이 평탄하거나 분해 불가능한 호로노미를 가지는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 계량 원뿔 $\widehat{M} = \mathbb{R}^+ \times M$ 와 계량 $\widehat{g} = dr^2 + r^2 g$ 의 호로노미 대수를 분석한다.
• 우의 정리를 사용하여 호로노미의 분해 가능성과 기저 다각형의 국소적 곱의 구조를 연결한다.
• 기하학적 기법을 적용하여 원뿔 위의 지오데식선과 평행 분포를 연구한다.
• 형태 $g = -ds^2 + \mathrm{e}^{-2s}g_N$ 또는 $g = ds^2 + \cos^2 s\, g_1 + \sin^2 s\, g_2$ 의 국소 계량 분해를 유도한다.
• [Lei06]의 이중 와핑된 곱의 호로노미 결과를 적용하여 호로노미 대수의 구조를 유도한다.
• 벡터장 $\tilde{Z}$ 와 관련된 함수 $\alpha$ 의 기울기를 사용하여 국소 피브레이션과 계량 분해를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유클리드 원뿔의 호로노미가 분해 가능해지는 조건은 무엇이며, 기저 다각형의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 압축 가능하고 완비된 비유클리드 다각형 위의 원뿔이 평탄한 기하학을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 완비된 다각형 위의 라우렌티안 원뿔에 대해 가능한 호로노미 대수는 무엇인가?
• RQ4 원뿔 위에 평행한 이sovotropic 분포가 존재할 경우, 이는 기저의 기하학에 어떤 제약을 끼치는가?
• RQ5 원뿔의 호로노미가 분해 불가능하지만 분해 가능할 경우, 기저의 국소 기하학은 어떻게 특징지어지는가?

주요 결과

• 완비된 비유클리드 다각형 위의 원뿔이 분해 가능한 호로노미를 가질 경우, 기저는 전체 호로노미 대수 $\mathfrak{so}(p,q)$ 를 가진다.
• 기저 다각형은 국소적으로 $g = ds^2 + \cos^2 s\, g_1 + \sin^2 s\, g_2$ 또는 $g = -ds^2 + \mathrm{cosh}^2 s\, g_1 + \mathrm{sinh}^2 s\, g_2$ 의 형태로 계량 분해를 갖는다.
• 압축 가능하고 완비된 기저의 경우 원뿔은 평탄하거나 분해 불가능한 호로노미를 가지며, 기저는 일정한 섹션 곡률 1을 가진다.
• 원뿔이 두 개의 보완적인 평행 이sovotropic 분포를 갖는다면, 기저는 파라-사삭시안이며 원뿔은 파라-카일러이다.
• 라우렌티안의 경우 원뿔의 호로노미 대수는 $\mathfrak{hol}(N,g_N) \ltimes \mathbb{R}^{\dim N}$ 과 동형이며, 여기서 $g_N$ 은 함수 $\alpha$ 의 등치면 위의 리만 계량이다.
• 완비된 라우렌티안 기저의 경우 국소 계량 분해는 전역적으로 $\widehat{g} = 2dxdy + y^2 g_N$ 으로 확장되며, $\alpha = e^{-s}$ 이고 $s \in \mathbb{R}$ 이다.