[논문 리뷰] Confidence intervals for high-dimensional Cox models

Yi Yu, Jelena Bradić외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 03.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 23인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 p ≫ n 조건에서 고차원 코ックス 모델에 대한 탈편향 방법을 제안하며, 희박한 정밀행렬에 대한 수정된 CLIME 추정기와 일단의 탈편향 추정기(One-step debiased estimator)를 사용하여 회귀계수에 대한 점점 타당한 신뢰구간을 구축한다. 주요 기여는 무한한 시간 지원과 비정상적인 위험집합을 가진 조건에서도 미약한 정규성 조건 하에서 선형 함수성 c⊤β에 대한 탈편향 추정기의 점근적 정규성을 이론적으로 보장하는 것이다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to construct confidence intervals for the regression coefficients in high-dimensional Cox proportional hazards regression models where the number of covariates may be larger than the sample size. Our debiased estimator construction is similar to those in Zhang and Zhang (2014) and van de Geer et al. (2014), but the time-dependent covariates and censored risk sets introduce considerable additional challenges. Our theoretical results, which provide conditions under which our confidence intervals are asymptotically valid, are supported by extensive numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 등급 수 p가 표본 크기 n을 초과하는 고차원 코ックス 비례위험 모델에서 회귀계수에 대한 타당한 신뢰구간을 구축하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 공변량과 케이서닝된 위험집합이 있는 고차원 생존 분석에서 표준 추론이 복잡해지는 문제를 다루는 것.
• 선형 함수성 c⊤β에 대해 점근적 정규성을 확보하는 탈편향 추정기를 개발하여 초고차원 설정(p = o(exp(n^a)) for all a > 0)에서도 타당한 추론을 가능하게 하는 것.
• 약한 수렴 가정과 무한한 시간 지원 등의 이론적 장벽을 극복하기 위해 새로운 절단 기법과 수정된 정밀행렬 추정을 사용하는 것.
• 특히 생물의학 및 게놈 연구에서 중요한 고차원 생존 데이터에 대한 실용적이고 이론적으로 타당한 추론 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 고차원 회귀계수에 대한 초기 희박 추정기 β̂로 Lasso-패널티를 부여한 부분우도 추정기를 사용한다.
• 로그-부분우도의 음의 헤시안의 역행렬을 근사하기 위해 수정된 CLIME 방법을 사용해 희박한 정밀행렬 추정기 bΘ를 구축한다.
• 일단의 탈편향 보정을 적용한다: β̃ = β̂ + bΘ × ˙ℓ(β̂), 여기서 ˙ℓ(β̂)는 β̂에서의 스코어 함수이다. 이는 초기 추정기의 편향을 감소시킨다.
• 무한한 시간 지원과 비정상적인 위험집합을 다루기 위해 새로운 절단 기법을 사용하여 공분산 과정의 약한 수렴 가정을 강하게 요구하지 않는다.
• 코ックス 모델에서 기울기 가중치에 의해 발생하는 평균이 이동한 설계 행렬을 고려한 수정된 CLIME 추정기를 사용하여 필수적인 독립성 구조를 유지한다.
• 집합 분포의 편차를 평균에서 통제하기 위해 농도 부등식과 마틴갈 기법을 사용하여 c⊤β̃의 점근적 정규성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p ≫ n 조건에서 고차원 코ックス 모델의 회귀계수에 대해 타당한 신뢰구간을 구축할 수 있는가?
• RQ2 탈편향 접근법은 시간에 따라 변화하는 생존 데이터의 특성과 비정상적인 위험집합을 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 무한한 시간 지원과 평균이 이동한 공변량이 존재하는 조건에서 탈편향 추정기의 점근적 정규성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 고전적인 마틴갈 중심극한정리에서 유래하는 강한 약한 수렴 가정을 피할 수 있는가?
• RQ5 이론적 프레임워크는 표본 크기와 희박성에 따라 어떻게 영향을 받는가? 특히 신호 변수와 노이즈 변수의 경우에 대해 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 제안된 탈편향 추정기 β̃는 임의의 고정된 선형 함수성 c⊤β에 대해 점근적으로 정규분포를 따르며, 이는 수정된 CLIME 정밀행렬을 통해 분산-공분산 구조를 추정할 수 있다.
• p = o(exp(n^a)) for all a > 0 조건 하에서 타당한 신뢰구간의 점근적 유효성을 확보하며, 이는 초고차원 설정을 포함한다.
• 수치 실험 결과, 상대적으로 작은 표본 크기에서도 노이즈 변수에 대해 타당한 p-값과 신뢰구간을 확보할 수 있었으며, 신호 변수의 경우 양호한 커버리지 확보를 위해 더 큰 표본이 필요하다.
• 이론적 분석을 통해 적절한 희박성 및 고유값 조건 하에서 탈편향 추정기의 추정 오차가 Op(√(log(np)/n))임을 입증하였다.
• 절단 기법은 무한한 시간 지원과 비정상적인 위험집합을 효과적으로 다루었으며, 이로 인해 이론이 유한한 시간 범위를 초월한 설정에도 적용 가능해졌다.
• 수정된 CLIME 추정기는 설계 행렬이 평균이 이동한 경우에도 정밀행렬 추정을 일관적으로 수행할 수 있게 하여 코ックス 모델에서의 핵심 과제를 해결하였다.