[논문 리뷰] Confinement of dislocations inside a crystal with a prescribed external strain

Ilaria Lucardesi, Marco Morandotti외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 20.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 등방성 결정에서 반평면 전단 하에 $n$개의 나선형 불량이 핵 반경 방법을 통해 특이 탄성 에너지를 정규화함으로써 봉인되는 것을 연구한다. 외부 변형률이 경계 적분에서 $2\beta n$이 되도록 설정된 경우, 시스템은 결정 내부에 $n$개의 구별 가능한 불량을 에너지적으로 선호하며, $\epsilon \to 0$일 때의 극한 에너지 함수는 그들이 중심 근처 또는 대칭 조건 하에서 안정적으로 봉인된 상태임을 확인한다.

ABSTRACT

A system of $n$ screw dislocations in an isotropic crystal undergoing antiplane shear is studied in the framework of linear elasticity. Imposing a suitable boundary condition for the strain, namely requesting the non-vanishing of its boundary integral, results in a confinement effect. More precisely, in the presence of an external strain with circulation equal to n times the lattice spacing, it is energetically convenient to have n distinct dislocations lying inside the crystal. The result is obtained by formulating the problem via the core radius approach and by studying the asymptotics as the core size vanishes. An iterative scheme is devised to prove the main result. This work sets the basis for studying the upscaling problem, i.e., the limit as $n o\infty$, which is treated in [17].

연구 동기 및 목표

• 반평면 전단 하에서 결정 내 $n$개의 나선형 불량의 에너지적 안정화를 이해하기 위해.
• 지정된 순환 $2\pi n$을 가진 외부 변형률이 결정 내 불량을 봉인하는 데 미치는 역할를 분석하기 위해.
• $\epsilon \to 0$일 때 정규화된 에너지 함수의 최소화자가 존재함을 입증하여, 불량이 서로 구별되고 내부에 유지됨을 보장하기 위해.
• 향후 연구에서 다루는 $n \to \infty$의 스케일업 극한에 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 불량 핵을 제외한 구멍이 뚫린 영역 $\Omega_\epsilon(\mathbf{a}) = \Omega \setminus \bigcup_{i=1}^n \overline{B}_\epsilon(a_i)$에서 탄성 에너지를 수립한다.
• 불량 근처에서의 로그 특이성을 정규화하기 위해 핵 반경 방법을 사용한다.
• 경계 조건 $F \cdot \tau = f$를 $\partial\Omega$에 도입하여, $\int_{\partial\Omega} f \, d\mathcal{H}^1 = 2\pi n$이 되도록 하여 위상적 봉인을 강제한다.
• 다이버전스가 0이면서 순환을 지정한 벡터장에 대해 $\frac{1}{2} \int_{\Omega_\epsilon} |F|^2$의 최소값으로 정의된 에너지 함수 $\mathcal{E}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a})$를 정의한다.
• 극한 $\epsilon \to 0$을 연구하기 위해 $\mathcal{F}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a}) = \mathcal{E}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a}) - \pi n |\log \epsilon|$을 도입한다.
• 반복적 방법과 컴actness 추론을 사용하여 최소화자의 존재와 $\mathcal{F}^{(n)}$로의 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외부 변형률의 순환이 $2\pi n$일 때, 어떤 조건에서 결정 내부에 $n$개의 서로 다른 불량이 봉인되는가?
• RQ2 핵 반경 정규화가 $\epsilon \to 0$일 때 탄성 에너지의 점근적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 극한 에너지 함수 $\mathcal{F}^{(n)}$는 최소화될 수 있으며, 그 최소화자는 불량 구성에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ4 $\epsilon \to 0$일 때, 다양한 경계 변형률 프로파일 하에서 불량의 공간 분포는 어떻게 되는가?
• RQ5 $n \to \infty$일 때 에너지와 불량 위치는 어떻게 스케일링되는가? 특히 대칭 구성일 경우 어떻게 되는가?

주요 결과

• 에너지 함수 $\mathcal{F}_\epsilon^{(n)}$는 아래로 유계이며, 경계에서 최소 $\delta > 0$ 거리 이상 떨어진 $n$개의 서로 다른 점들로 구성된 구성에서 최솟값을 가진다.
• $\epsilon \to 0$일 때, 최소화자 $\mathbf{a}^\epsilon$는 부분수열을 제외하고는 극한 에너지 $\mathcal{F}^{(n)}$의 최소화자로 수렴하며, 이는 안정적이고 봉인된 불량 구성이 있음을 확인한다.
• 일반적으로 $n=1$이고 원형 영역일 경우, 에너지 경관은 중심 대칭이며 $f=1$일 때 중심에서 최소화된다; 비대칭인 $f$일 경우 최소화점은 변형률이 더 높은 영역 쪽으로 이동한다.
• $n \geq 2$일 경우, 원점 기준 정규 $n$각형 위에서 $\mathcal{F}^{(n)}$를 최소화하면 $n \to \infty$일 때 $\mathrm{dist}(\mathbf{p}_n, \partial\Omega) \sim 1/n$ 이고 $|\mathcal{F}^{(n)}(\mathbf{p}_n)| \sim n^2$가 되며, 이는 점점 더 강한 봉인과 에너지 스케일링을 나타낸다.
• 극한 에너지 $\mathcal{F}^{(n)}$는 $\overline{\Omega}^n$에서 연속적이고 강한 조건을 만족하므로, $\epsilon \to 0$ 극한에서 최소화자가 존재함을 보장한다.
• 수치 결과는 $\mathcal{F}^{(1)}$의 에너지 프로파일이 작은 $\epsilon$에서 $\mathcal{E}_\epsilon^{(1)}$의 물리적 에너지 경관을 잘 근사함을 확인하여, 점근 모델의 타당성을 검증한다.