[논문 리뷰] Confining non-analytic exponential potential $V(x)= g^2\exp\,(2|x|)$ and its exact Bessel-function solvability

Ryu Sasaki|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 08.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비해석적 지수 포텐셜 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$를 가진 1차원 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해를 제시하며, 그 유한한 상태가 순수 허수 차수를 가진 제2종 수정 베셀 함수 $K_{i\nu}(\rho)$로 기술됨을 보여준다. 에너지 고유값 $E_n = \nu_n^2$는 고정된 $g>0$에 대해 $\nu$에 대한 함수로 본 $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 순수 허수 영점에 의해 결정되며, 이는 수정 베셀 함수의 영점에 기반한 새로운 정확하게 해를 가진 양자 시스템의 클래스를 수립한다.

ABSTRACT

In a previous paper we have shown that Schrödinger equation with the non-analytic attractive exponential potential $V(x)= -g^2\exp (-|x|)$ is exactly solvable. It has finitely many discrete eigenstates described by the Bessel function of the first kind $J_ν(z)$ and the eigenvalues are specified by the positive zeros of $J_ν(g)$ and $J'_ν(g)$ as a function of the order $ν$ with fixed $g>0$. Now we show the corresponding results for the {\em confining\/} non-analytic exponential potential $V(x)= g^2\exp (2|x|)$. This has infinitely many discrete eigenstates described by the modified Bessel function of the second kind $K_{iν}(z)$. The eigenvalues are specified by the {\em pure imaginary zeros\/} of $K_{iν}(g)$ and $K'_{iν}(g)$ as a function of the order with fixed $g>0$.

연구 동기 및 목표

• 1차원 양자역학에서 포획 비해석적 지수 포텐셜 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$의 정확한 해를 확립하기.
• 순수 허수 차수 $i\nu$를 가진 제2종 수정 베셀 함수를 사용하여 유한한 상태의 완전한 이산 스펙트럼을 유도하기.
• 고정된 $g>0$에 대해 $\nu$에 대한 함수로 본 $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 영점에 의해 결정되는 에너지 고유값 $E_n = \nu_n^2$를 규명하기.
• $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 순수 허수 영점에 대한 정규직교 관계와 점점 큰 $n$에 대한 점근 분포 법칙을 유도하기.

제안 방법

• 보조 변수 $\rho(x) = g e^{|x|}$를 통해 슈뢰딩거 방정식을 베셀형 미분방정식으로 변환하여 문제를 반경 방식으로 매핑하기.
• 유도된 방정식을 수정 베셀 함수 $I_{i\nu}(\rho)$와 $K_{i\nu}(\rho)$를 사용하여 해결하며, 무한대에서의 감쇠 성질로 인해 정규화 가능성 때문에 $K_{i\nu}(\rho)$를 선택하기.
• $x=0$에서의 페어리티 보존 경계 조건을 적용하여 짝수 및 홀수 페어리티 고유함수를 선택하고, 이로 인해 $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$를 포함하는 매칭 조건을 도출하기.
• 고유함수가 매칭점 $\rho = g$에서 0이 되도록 요구함으로써 고유값 $E_n = \nu_n^2$를 결정하기, 즉 $K_{i\nu}(g) = 0$ 또는 $K'_{i\nu}(g) = 0$.
• 워네스크 방식의 항등식과 와이츠의 베셀 함수 전문서에서 유도된 부정적분 공식을 사용하여 고유함수의 정규직교 관계를 유도하기.
• WKB 근사법을 사용하여 큰 $n$에 대해 순수 허수 영점 $\nu_n$의 점근 분포를 추측하고, 보어-좀머펠트 유사 양자화 조건에 도달하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포획 지수 포텐셜 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$는 1차원 양자역학에서 어떻게 정확하게 해를 구할 수 있는가?
• RQ2 순수 허수 차수 $i\nu$를 가진 제2종 수정 베셀 함수는 이 포텐셜의 유한한 상태를 어떻게 기술하는가?
• RQ3 고정된 $g>0$에 대해 $\nu$에 대한 함수로 본 $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 영점에 의해 결정되는 에너지 고유값 $E_n = \nu_n^2$는 어떻게 되는가?
• RQ4 순수 허수 영점 $K_{i\nu}(\rho)$에서 유도된 고유함수들이 만족하는 정규직교 관계는 무엇인가?
• RQ5 큰 $n$에 대해 $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 순수 허수 영점 $\nu_n$의 점근 분포는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 포탄 지수 포텐셜 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$를 가진 슈뢰딩거 방정식은 무한히 많은 이산적인 유한한 상태를 가지며, 고유값 $E_n = \nu_n^2$는 고정된 $g>0$에 대해 $\nu$에 대한 함수로 본 $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 영점에 의해 결정된다.
• 고유함수는 $\rho(x) = g e^{|x|}$를 사용하여 제2종 수정 베셀 함수 $K_{i\nu}(\rho)$로 표현되며, 정규화 가능성과 페어리티 조건을 모두 만족한다.
• $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 영점 $\nu_n$은 교차하며 단순한 영점이며, $0 < \lambda_0 < \mu_0 < \lambda_1 < \mu_1 < \cdots$를 만족한다. 여기서 $\lambda_n$과 $\mu_n$은 각각 $K_{i\nu}(g)$와 $K'_{i\nu}(g)$의 영점이다.
• 고유함수에 대한 정규직교 관계가 확립된다: $\int_x^\infty K_{i\lambda_j}(\rho) K_{i\lambda_k}(\rho) \frac{d\rho}{\rho} = 0$ ($j \neq k$, 짝수 페어리티), 마찬가지로 홀수 페어리티의 경우 $\mu_n$을 사용하여 유사하게 유도된다.
• 큰 $n$에 대해 $n$-번째 순수 허수 영점에 대한 점근 분포에 대한 추측을 제시한다: $\nu_n \,{\rm arccosh}(\nu_n / g) - \sqrt{\nu_n^2 - g^2} = \frac{(n + \frac{1}{2})\pi}{2}$ ($n \gg 1$), 이는 WKB 근사와 일치한다.
• L-번째 관련 해밀토니안 시스템의 고유함수는 워네스크 기반 정규직교 관계를 만족하며, $K_{i\nu_j}(\rho)$의 워네스크의 곱을 포함한다. 이는 스펙트럼의 완전성을 확인한다.