[논문 리뷰] Confluence of nearly orthogonal infinitary term rewriting systems

Łukasz Czajka|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Logic, programming, and type systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공인성 증명과 공재귀 정의를 위한 실용적인 집합론적 기반을 제시하며, 프로그래밍 언어 이론과 형식적 방법에서 흔히 사용되는 비형식적 공인성 추론이 체계적으로 초한수 인도션으로 환원될 수 있음을 보여준다. 이는 형식적 유형 이론적 장치 없이도 보다 기본적인 집합론적 구성으로 보다 간단한 방식으로 보장된 보편성 증명과 중첩된 공인성 증명을 정당화하며, 이러한 증명이 표준 ZFC 스타일의 추론으로 공식적으로 제거 가능하다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

We introduce two coinduction principles and two proof translations which, under certain conditions, map coinductive proofs that use our principles to guarded Coq proofs. The first principle provides an "operational" description of a proof by coinduction, which is easy to reason with informally. The second principle extends the first one to allow for direct proofs by coinduction of statements with existential quantifiers and multiple coinductive predicates in the conclusion. The principles automatically enforce the correct use of the coinductive hypothesis. We implemented the principles and the proof translations in a Coq plugin.

연구 동기 및 목표

• 프로그래밍 언어 이론과 형식적 방법에서 흔히 사용되는 비형식적 공인성 증명 스타일에 대해 명확하고 접근 가능한 정당성을 제공하는 것.
• 공인성 가정을 사용하는 공인성 증명이 ZFC 집합론에서 초한수 인도션으로 공식적으로 환원될 수 있음을 보여주는 것.
• 유형 이론적 보호 조건이나 크기 유형에 의존하지 않고도 공재귀 정의의 의미론적 집합론적 해석을 제공하는 것.
• 고정점 이론과 단조성에 기반하여 중첩된 또는 상호 공인성 정의를 직접 환원함으로써 이를 정당화하는 것.
• 공인성을 인도션만큼 신뢰할 수 있고 투명하게 만들기 위해, 공인성의 공식적 제거 가능성을 표준 수학적 추론으로 보여주는 것.

제안 방법

• 초한수 인도션을 사용하여 공인성 증명을 순서수 단계의 잘 서렬된 인도션으로 환원함으로써 이를 정당화한다.
• coterms를 N*에서 생성자로의 부분 함수로 정의하여, 유형 일관성을 갖는 레이블이 부여된 트리로서 무한한 항을 모델링한다.
• 깊이가 감소하는 생산 함수를 통해 '보호된' 공재귀 정의의 개념을 도입함으로써, 잘 정의된 성질을 보장한다.
• Knaster-Tarski 고정점 정리를 적용하여 단조적인 F에 대해 최대 고정점을 νF = ⋃{X | X ⊆F(X)}로 특성화한다.
• Bekić 원리를 사용하여 상호 공인성 정의를 중첩된 최대 고정점으로 분해한다.
• Skolem화된 공인성 문장을 보호된 재귀적 구조를 갖는 공재귀 함수 정의로 환원하여 유일성과 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비형식적 공인성 증명(공인성 가정을 포함)이 집합론에서 어떻게 공식적으로 정당화될 수 있는가?
• RQ2 무한한 항 위에서의 공재귀 정의가 잘 정의되고 유일하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 중첩되거나 상호 공인성 정의는 어떻게 표준 집합론적 고정점 구성으로 환원될 수 있는가?
• RQ4 어떤 의미에서 공인성 추론은 초한수 인도션으로 대체될 수 있는가?
• RQ5 형식적 유형 이론적 장치 없이도 공재귀 정의의 정확성을 보장하기 위해 보호성의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 공인성 가정을 사용하는 공인성 증명은 초한수 인도션으로 체계적으로 환원될 수 있으며, 이는 표준 ZFC 집합론에서 그 정당성이 명확해진다.
• 생산 함수가 깊이에 대해 엄격히 감소하면 공재귀 정의는 잘 정의되고 유일한 함수로 수렴한다.
• Bekić 원리를 통해 상호 공인성 정의는 중첩된 최대 고정점으로 환원되며, 이는 일관성과 유일성을 보장한다.
• 논문은 보호된 공재귀 정의가 크기 유형이나 유형 이론적 보호 조건 없이도 coterms 위에서 함수를 유일하게 결정함을 입증한다.
• 예를 들어 두 줄임이 동일한 항으로 수렴함을 증명하는 중첩된 공인성 증명은 Skolem화하고 보호된 구조를 갖는 공재귀 함수를 정의함으로써 공식화될 수 있다.
• 논문은 [28, 13, 35, 34, 33]의 스타일로 된 비형식적 공인성 증명이 표준 수학적 추론으로 공식적으로 제거 가능하다는 것을 보여주며, 이것이 인도성 증명과 마찬가지로 성립한다.