[논문 리뷰] Conformable Fractional Bessel Equation and Bessel Functions

Ahmet Gökdoğan, Emrah Ünal외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 29.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 새로운 분수도 정의를 사용하여 conformable 분수 Bessel 미분방정식을 도입하고, 정칙특이점 x=0 주변에서의 분수거듭제곱급수 해를 유도한다. 분수 Bessel 함수를 정의하고 고전적 해와 비교함으로써, 특히 conformable 프레임워크 하에서 급수해의 수렴성과 형태에서의 핵심적인 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

In this work, we study the fractional power series solutions around regular singular point x=0 of conformable fractional Bessel differential equation and fractional Bessel functions. Then, we compare fractional solutions with ordinary solutions. In addition, we present certain property of fractional Bessel functions.

연구 동기 및 목표

• 최근에 정의된 분수도를 사용하여 conformable 분수 Bessel 미분방정식을 연구하는 것.
• 정칙특이점 x=0 주변에서의 분수거듭제곱급수 해를 도출하는 것.
• conformable 미적분 프레임워크 내에서 분수 Bessel 함수를 정의하고 분석하는 것.
• 분수해와 고전적 Bessel 함수 해의 성질과 구조를 비교하는 것.
• conformable 프레임워크 하에서 분수 Bessel 함수를 특징짓는 핵심 분석적 성질을 규명하고 제시하는 것.

제안 방법

• 정의된 분수도 α ∈ (0,1]을 고전적 Bessel 방정식에 적용하는 것.
• 표준 도함수를 conformable 분수도로 대체하여 conformable 분수 Bessel 방정식을 도출하는 것.
• x=0 주변에서의 분수거듭제곱급수 해를 구하기 위해 Frobenius 방법을 사용하는 것.
• 모르는 계수를 가진 분수거듭제곱급수 형태의 해를 가정하여 재귀관계를 풀이하는 것.
• 정칙특이점에서 해의 행동을 결정하기 위해 지수방정식을 분석하는 것.
• 구해진 분수 Bessel 함수를 고전적 Bessel 함수와 형태와 수렴성 측면에서 비교하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 conformable 분수도는 고전적 Bessel 미분방정식을 어떻게 수정하는가?
• RQ2 x=0 주변에서의 conformable 분수 Bessel 방정식의 분수거듭제곱급수 해는 무엇인가?
• RQ3 분수 Bessel 함수는 형태와 행동 측면에서 고전적 Bessel 함수와 어떻게 다를까?
• RQ4 유도된 분수거듭제곱급수 해의 수렴 행동는 어떠한가?
• RQ5 conformable 프레임워크 하에서 분수 Bessel 함수를 특징짓는 내재된 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 표준 도함수를 conformable 분수도 α ∈ (0,1]로 대체함으로써 conformable 분수 Bessel 방정식이 도출된다.
• Frobenius 방법을 사용하여 정칙특이점 x=0 주변에서 분수거듭제곱급수 해가 성공적으로 구성된다.
• 분수 Bessel 함수는 특히 급수 계수의 형태에서 고전적 Bessel 함수와 구조적 차이를 보인다.
• conformable 도함수의 성질로 인해 분수 급수의 계수에 대한 재귀관계는 고전적 경우와 상당히 다름을 보인다.
• 분수 Bessel 함수의 핵심 분석적 성질이 규명되었으며, 이는 고전적 대응물과의 차이를 드러낸다.
• 분수해와 고전해 간의 비교를 통해, 분수해는 고전해와 동일한 조건에서 수렴하지만 계수의 동역학이 변경됨을 밝혀냈다.