[논문 리뷰] Conformable Fractional Semigroups of Operators

Mohammed Al Horani, Roshdi Khalil외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 21.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 2인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 고전적 도함수 성질을 만족하는 새로운 분수도 정의를 기반으로, conformable 분수 반군을 도입한다. 이 반군의 무한소 생성자는 t=0에서 conformable 분수 도함수와 일치하며, α-추상 코시 문제의 해가 u(t) = T(t)u₀로 주어짐을 증명하여, 이 새로운 도함수를 사용한 분수 진동 방정식에 대한 고전적 해 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a Banach space, and $T:[0,\infty) ightarrow {\mathcal{L}}(X,X),$ the bounded linear operators on $X.$ A family $\{T(t)\}_{t\ge 0}\subseteq {% \mathcal{L}}(X,X)$ is called a one-parameter semigroup if $T(s+t)=T(s)T(t),$ and $T(0)=I,$ the identity operator on $X.$ The infinitesimal generator of the semigroup is the derivative of the semigroup at $t=0.$ The object of this paper is to introduce a (conformable) fractional semigroup of operators whose generator will be the fractional derivative of the semigroup at $t=0.$ The basic properties of such semigroups will be studied.

연구 동기 및 목표

• 기존 분수 도함수의 한계를 극복하는 conformable 분수 도함수를 기반으로 한 새로운 분수 반군의 클래스를 개발하는 것.
• 이러한 반군의 무한소 생성자를 t=0에서의 conformable 분수 도함수로 정의하는 것.
• conformable 반군 프레임워크를 사용해 α-추상 코시 문제의 해를 수립하는 것.
• 적절한 조건 하에서 해 u(t) = T(t)u₀가 고전적이고 유일함을 보이는 것.
• conformable 도함수의 향상된 대수적 및 분석적 성질을 활용해 분수 미분방정식을 해결하기 위한 기능적 해석적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• T(0) = I 이고 T(s+t) = T(s)T(t) 를 만족하는 {T(t)}_{t≥0} ⊆ ℒ(X,X) 를 일차 파라미터 가중족 {T(t)}_{t≥0} ⊆ ℒ(X,X) 이라 하며, T(t) 가 f(s) ↦ f(s + ¹⁄α t^α) 를 통해 함수에 대해 시간 이동 연산자로 작용하는 분수 α-반군이라 정의한다.
• 표준 도함수 법칙을 만족하는 T_α(f)(t) = lim_{ε→0} [f(t + εt^{1−α}) − f(t)] / ε 의 conformable 분수 도함수를 도입한다.
• 무한소 생성자 A 를 T(t) 의 t=0에서의 conformable 분수 도함수로 정의하며, f ∈ D(A) 이면 A f(s) = f′(s) 임을 보인다.
• 연쇄법칙과 데로이트 룰을 사용해 반군 작용의 conformable 도함수를 계산하여, T^{(α)}(t)f(s) = f′(s + ¹⁄α t^α) 를 도출한다.
• α-추상 코시 문제 u^{(α)}(t) = A u(t), u(0) = u₀ 의 해가 u(t) = T(t)u₀ 로 주어짐을 증명하며, 해에 대해 [T(t−s)u(s)]^{(α)} = 0 인 항등식을 사용한다.
• 유일성 확보를 위해 α-적분 I_α^0 을 적용하여 T(t−t)u(t) − T(t)u₀ = 0 ⇒ u(t) = T(t)u₀ 임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한소 생성자가 t=0에서의 conformable 분수 도함수인 반군을 구성할 수 있는가? (즉, 고전적 도함수가 아닌가?)
• RQ2 conformable 분수 도함수를 통해 추상 코시 문제에 대한 고전적 해 형태를 유지하는 잘 정의된 반군의 구조를 만들 수 있는가?
• RQ3 T(t) 가 A 에 의해 생성된 c₀-α-반군이라면, α-추상 코시 문제의 해가 u(t) = T(t)u₀ 로 유일하게 주어지는가?
• RQ4 conformable 도함수가 복합 및 미분에 대해 어떻게 행동하는가에 따라 반군의 구조와 해의 정규성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 conformable 도함수의 향상된 대수적 성질(예: 곱의 법칙, 연쇄법칙)이 기존 분수 도함수보다 더 자연스럽고 일관된 반군 프레임워크를 이끌 수 있는가?

주요 결과

• α-반군의 무한소 생성자는 D(A) = {f ∈ X : f′ exists in X} 인 경우 A f(s) = f′(s) 로 주어지며, conformable 프레임워크 하에서 생성자는 고전적 도함수를 회복함을 보여준다.
• 반군 작용의 conformable 분수 도함수는 T^{(α)}(t)f(s) = f′(s + ¹⁄α t^α) 로 주어지며, t → 0 일 때 f′(s) 로 수렴하여 생성자 성질을 확인한다.
• α-추상 코시 문제 u^{(α)}(t) = A u(t), u(0) = u₀ 의 해는 T(t) 가 α-반군이라면 유일하게 u(t) = T(t)u₀ 로 주어진다.
• X = C[0,∞) 에서 초등 노름을 갖는 경우, A f(s) = f′(s) 는 f(s) ↦ f(s + ¹⁄α t^α) 를 통해 정의된 α-반군 T(t) 를 생성하며, 이 반군은 강한 연속성을 갖는다.
• 함수 u(x,t) = g(x + ¹⁄α t^α) 는 g 가 연속적으로 미분 가능할 경우, PDE ∂^{α}u/∂t^{α} = ∂u/∂x 와 초기 조건 u(x,0) = g(x) 를 유일하게 만족한다.
• conformable 도함수 프레임워크는 해가 모든 고전적 도함수 법칙을 만족함을 보장하여, 리만-리오빌 및 카푸토 도함수의 핵심 단점을 해결한다.