[논문 리뷰] Conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$ from $sl_2$

Valery Alexeev, Angela Gibney외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $ \overline{M}_{0,n}$의 모듈리 공간에서 $ \mathfrak{sl}_2$ 에 관련된 conformal block에 기반한, 모든 무게가 1이고 수준 $ \ell$ 가 변화하는 일련의 반준항성(divisor)을 연구한다. 이들이 대칭 네프 콘의 경계에 위치하며, 비유리적 수축을 정의하고, Satake 콪막힘, GIT 졸업, Hassett의 가중치가 있는 안정 곡선으로의 기하학적 준동형사상을 실현하며, 그들의 계급과 $F$-곡선에 대한 교차수를 명시적인 공식으로 제공한다.

ABSTRACT

We study a family of semiample divisors on $\bar{M}_{0,n}$ defined using conformal blocks and analyze their associated morphisms.

연구 동기 및 목표

• 모든 무게가 1인 $ \mathfrak{sl}_2$ 에서 유래된 $ \overline{M}_{0,n}$의 conformal block divisor의 기하학적 및 수치적 성질을 분석하는 것.
• 이들 divisor가 $ \overline{M}_{0,n}$의 네프 콘 내에서, 특히 대칭 몫 $ \overline{M}_{0,n}/S_n$ 내에서 위치하는 것을 규명하는 것.
• 이들 divisor와 관련된 준동형사상들을 묘사하고, 아벨 다양체의 모듈리 공간과 GIT 졸업과 같은 알려진 모듈리 공간들과의 관계를 밝혀내는 것.
• 이들 divisor의 계급과 $F$-곡선에 대한 교차수에 대해 명시적인 공식을 제공하여, 네프성과 반준항성의 조합론적 검증을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $ \mathfrak{sl}_2$ 에서 수준 $ \ell$ 이고 기본 무게가 모두 1인 경우에 대해, conformal block bundle의 첫 번째 체르니클 클래스를 계산하기 위해 Verlinde 공식과 Fakhruddin의 재귀 공식을 사용한다.
• 플래그 사상에 의해 $ \overline{M}_{2(g+1)}$ 의 divisor들과 연관지워, 경계 divisor $ \delta_J$ 와 허지 클래스 $ \lambda$ 에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도하여 divisor 클래스 $ \mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 를 유도한다.
• Keel과 McKernan의 Ray 정리와 Farkas 및 Gibney가 확장한 결과를 적용하여, 모든 $F$-곡선과의 교차수가 음이 아닌지 확인함으로써 네프성을 검증한다.
• 수준 $ \ell = g-1$ 과 $ \ell = g$ 의 경우, $F$-네프성을 확보하고 이로 인해 네프성을 확보하기 위해 $ \overline{M}_{2(g+1)}$ 의 divisor에 네프 divisor $ \mathcal{D}$ 를 추가하는 변형을 구성한다.
• 플래그 사상 $ f: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{2(g+1)}$ 에 의한 divisor의 역상이 경계 divisor $ B_j$ 의 선형 조합으로 주어짐을 이용하여, $ \mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 의 계급을 명시적으로 계산할 수 있다.
• 이들 준동형사상들이 Hassett의 감소 준동형사상 $ \rho_A: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{0,A}$ 를 통해 인수화됨을 검증한다. 여기서 $ A = (1/(\
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실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 의 conformal block divisor가 $\overline{M}_{0,n}$의 대칭 네프 콘 내에서 어디에 위치해 있으며, 경계에 있는가 아니면 내부에 있는가?
• RQ2 이들 divisor가 정의하는 기하학적 준동형사는 무엇이며, Satake 콱막힘 또는 GIT 졸업과 같은 알려진 모듈리 공간들과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 이들 divisor의 계급을 $\overline{M}_{0,n}$의 경계 divisor와 허지 클래스를 사용하여 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ4 수준 $ \ell = g-1$ 과 $ \ell = g$ 의 경우, 이들 divisor가 $(\mathbb{P}^1)^n // \mathrm{SL}_2$ 로의 준동형사를 정의하는가? 만약 그렇다면, 플래그 사상과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 이들 divisor의 네프성을 확인하는 조합론적 기준이 존재하는가? 만약 그렇지 않다면, 어떤 대체 방법이 필요한가?

주요 결과

• $\ell = 1,2,g-1,g$ 일 때, $ \mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 의 divisor는 $ \operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$의 경계에 위치하며, $ \overline{M}_{0,n}/S_n$ 의 비유리적 수축을 정의한다.
• $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{1,(1,\ldots,1)}$ 의 divisor는 아벨 다양체의 모듈리 공간의 차원 $g$ 인 Satake 콱막힘으로의 준동형사를 정의한다.
• $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{g,(1,\ldots,1)}$ 의 divisor는 $(\mathbb{P}^1)^n // \mathrm{SL}_2$ 로의 준동형사를 정의하며, $ \mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{g-1,(1,\ldots,1)}$ 는 이 졸업의 자연스러운 일반화된 플립(generalized flip)으로 보낸다.
• $\ell \leq g-1$ 일 때, 각 $ \mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 의 준동형사는 Hassett의 감소 준동형사상 $ \rho_A: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{0,A}$ 를 통해 인수화되며, $ A = (1/(\
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