[논문 리뷰] Conformal blocks for Galois covers of algebraic curves

Jiuzu Hong, Shrawan Kumar|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한군 작용을 가진 단순 리 대수 위에서 아대수적 곡선의 갈로아 쌍대 덮개 위의 날개진 등각 블록에 대한 전파 및 인수 분해 정리를 수립한다. 군이 Borel 부분대수를 안정화할 경우, 날개진 등각 블록의 층은 국소적으로 자유롭고 평탄한 사영 연결을 갖는다. 핵심 결과는 수준 $c$ 가 $|\Gamma|$ 에 의해 나누어떨어질 때, 날개진 등각 블록을 파라호릭 $$\mathscr{G}$$-torsor의 모듈리 스택 위의 일반화된 테타 함수 공간과 일치시킴으로써 Pappas-Rapoport의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We study the spaces of twisted conformal blocks attached to a $Γ$-curve $Σ$ with marked $Γ$-orbits and an action of $Γ$ on a simple Lie algebra $\mathfrak{g}$, where $Γ$ is a finite group. We prove that if $Γ$ stabilizes a Borel subalgebra of $\mathfrak{g}$, then Propagation Theorem and Factorization Theorem hold. We endow a flat projective connection on the sheaf of twisted conformal blocks attached to a smooth family of pointed $Γ$-curves; in particular, it is locally free. We also prove that the sheaf of twisted conformal blocks on the stable compactification of Hurwitz stack is locally free. Let $\mathscr{G}$ be the parahoric Bruhat-Tits group scheme on the quotient curve $Σ/Γ$ obtained via the $Γ$-invariance of Weil restriction associated to $Σ$ and the simply-connected simple algebraic group $G$ with Lie algebra $\mathfrak{g}$. We prove that the space of twisted conformal blocks can be identified with the space of generalized theta functions on the moduli stack of quasi-parabolic $\mathscr{G}$-torsors on $Σ/Γ$ when the level $c$ is divisible by $|Γ|$ (establishing a conjecture due to Pappas-Rapoport).

연구 동기 및 목표

• 갈로아 덮개 위의 대수적 곡선과 단순 리 대수 위의 유한군 작용에 대한 날개진 등각 블록 이론을 개발한다.
• 군이 Borel 부분대수를 안정화할 조건 하에서 날개진 등각 블록에 대한 전파 및 인수 분해 정리를 수립한다.
• Hurwitz 스택의 안정적 컴acts이화 위의 날개진 등각 블록 층이 국소적으로 자유롭다는 것을 증명한다.
• 날개진 등각 블록을 파라호릭 $$\mathscr{G}$$-torsor의 모듈리 스택 위의 선다발의 전역 단면 공간과 일치시킨다.
• Pappas와 Rapoport의 추측, 즉 수준 $c$ 가 $|\Gamma|$ 로 나누어떨어질 경우 날개진 등각 블록이 일반화된 테타 함수 공간과 일치한다는 것을 확인한다.

제안 방법

• 스태빌라이저 부분군에서의 스트레스된 아핀 Kac-Moody 대수의 통합 최고 가중치 표현의 텐서곱의 몫을 통해 날개진 등각 블록을 정의한다.
• 균일화 정리를 사용하여 파라호릭 $$\mathscr{G}$$-torsor의 모듈리 스택을 $G($\Sigma\setminus\Gamma\cdot q$)^\Gamma$ 와 플라그 다양체를 포함하는 몫 스택으로 실현한다.
• 균일화 공간 위의 선다발의 텐서곱의 내림을 통해 모듈리 스택 위에 선다발 $\mathfrak{L}(c;\vec{\lambda})$ 를 구성한다.
• Borel-Weil 정리와 그 Kac-Moody 일반화를 적용하여 전역 단면을 군 작용에 대한 불변량과 일치시킨다.
• 공백의 전파 정리를 활용하여 날개진 공공백 공간을 표현 공간의 불변량과 연결한다.
• 포인트가 있는 $\Gamma$-곡선의 매끄러운 가닥 위에서 날개진 공공백 층에 대한 평탄한 사영 연결을 사용하여 국소 자유성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈로아 덮개 위의 곡선에서 날개진 등각 블록에 대해 공백의 전파가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Hurwitz 스택의 안정적 컴acts이화 위에서 날개진 등각 블록 층이 국소적으로 자유로운가?
• RQ3 파라호릭 토르서의 모듈리 스택을 통한 날개진 등각 블록의 기하학적 해석은 무엇인가?
• RQ4 언제 날개진 등각 블록이 일반화된 테타 함수와 일치하며, 이에 필요한 수준 $c$ 의 조건은 무엇인가?
• RQ5 유한군 $\Gamma$ 가 리 대수 $\mathfrak{g}$ 에 작용할 때, 날개진 등각 블록의 구조와 그 인수 분해 성질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 군 $\Gamma$ 가 $\mathfrak{g}$ 의 Borel 부분대수를 안정화할 경우, 날개진 등각 블록에 대해 공백의 전파가 성립하여, 임의의 무게가 0인 표시점을 제거할 수 있다.
• 동일한 Borel 안정화 조건 하에서 날개진 등각 블록에 대한 인수 분해 정리가 수립된다.
• Hurwitz 스택의 안정적 컴acts이화 위의 날개진 등각 블록 층은 국소적으로 자유롭고, 매끄러운 경우의 일반화이다.
• 매끄러운 포인트가 있는 $\Gamma$-곡선의 가닥 위에서 날개진 공공백 층에 평탄한 사영 연결이 존재한다.
• 수준 $c$ 가 $|\Gamma|$ 로 나누어떨어질 경우, 날개진 등각 블록 공간과 파라호릭 $\mathscr{G}$-torsor의 모듈리 스택 위의 선다발의 전역 단면 공간 사이에 자연스러운 동형사상이 존재한다.
• Pappas와 Rapoport의 추측이 확인되었다: 수준 $c$ 가 $|\Gamma|$ 로 나누어떨어지는 조건 하에서, 날개진 등각 블록은 $\mathscr{G}$-torsor의 모듈리 스택 위의 일반화된 테타 함수와 일치한다.