[논문 리뷰] Conformal blocks, fusion rules and the Verlinde formula

Arnaud Beauville|ArXiv.org|1994. 05. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 126

한 줄 요약

이 논문은 SU(n)에 관련된 WZW-모델에서 conformal block 공간의 차원에 대한 Verlinde 공식을 인수 분해 규칙, 융합 링 구조론, 그리고 애फ인 리 대수의 특성 이론을 결합하여 엄밀하게 유도한다. 일반화된 테타 함수의 구조를 이용하여 모듈리 공간 위의 G-_bundle에 대한 일반화된 테타 함수의 기하학적 성질을 기반으로 Verlinde 공식을 도출하며, 명시적인 특성 계산과 유한군의 수체계에서의 직교성 관계를 사용한다.

ABSTRACT

The Verlinde formula computes the dimension of certain vector spaces ("conformal blocks") associated to a Rational Conformal Field Theory. In this paper we show how this can be made rigorous for one particular such theory, the WZW model. Thanks to the results of [B-L], [F] and [T-U-Y], this gives the dimension of the space of global sections of the determinant line bundles (and its multiples) on the moduli space of vector bundles with fixed rank and determinant.

연구 동기 및 목표

• SU(n)에 관련된 WZW-이론에서 conformal block의 Verlinde 공식을 자가 포함적인 방식으로 유도하는 것.
• Verlinde 공식과 G-_bundle의 모듈리 공간 위의 일반화된 테타 함수의 기하학적 성질 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 인수 분해 규칙과 융합 링의 구조로부터 직접 유도함으로써 문헌에서 야기된 혼동을 해결하는 것.
• 특성 이론과 유한군의 수체계에서의 직교성 관계를 기반으로 Verlinde 공식을 도출하는 것.

제안 방법

• 리만 곡면 $C$ 위의 G-_bundle의 모듈리 공간 위의 결정론적 번들의 전역 단면으로서 conformal block 공간 $V_C(\vec{P},\vec{\lambda})$를 구성한다.
• 인수 분해 규칙을 캐릭터로 표현하고 차원을 계산하기 위해 융합 링 $\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$을 도입한다.
• Weyl 특성 공식과 Weyl 군의 성질을 이용하여 기약 표현에서 군 원소의 추적을 계산한다.
• $L^2(T_\ell)$에서의 직교성 관계를 적용하여 $\sum_{\lambda \in P_\ell} |\operatorname{Tr}_{V_\lambda}(t)|^2$를 평가함으로써 Verlinde 공식에 도달한다.
• $P / (\ell + h^\vee) Q_{lg} \cong T_\ell$의 동형사상을 이용하여 유한군 $T_\ell$의 크기를 랭크, 연결 지수, 및 격자 인덱스로 표현한다.
• $\Delta(t) = \prod_{\alpha > 0} (e^\alpha(t) - 1)$의 표현과 $t \in T^\mathrm{reg}_\ell$에서의 정규성 조건을 사용하여 최종 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SU(n)의 경우에서 인수 분해 규칙으로부터 conformal block의 차원에 대한 Verlinde 공식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 conformal block과 G-_bundle의 모듈리 공간 위의 일반화된 테타 함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 융합 링 $\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$의 특성은 왜 $V_C(\vec{P},\vec{\lambda})$의 차원을 캐릭터로 표현하는가?
• RQ4 유한군 $T_\ell$은 conformal block 차원 계산에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특성 이론과 유한군의 수체계에서의 직교성 관계만을 사용하여 Verlinde 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• Verlinde 공식은 $|T_\ell|^{g-1} \sum_{t \in T^\mathrm{reg}_\ell} \frac{\operatorname{Tr}_{V_{\vec{\lambda}}}(t)}{\Delta(t)^{g-1}}$로 표현되며, 여기서 $T_\ell$은 수준-ℓ 가중치의 유한군이다.
• $|T_\ell| = (\ell + h^\vee)^r f q$로 주어지며, 여기서 $r$은 랭크, $f$는 연결 지수, $q$는 $Q_{lg}$의 $Q$에 대한 인덱스이다.
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ 또는 $\mathfrak{sp}(n,\mathbb{C})$인 경우, $\mathcal{R}_\ell(\mathfrak{g})$의 특성은 명시적으로 결정되어 공식의 계산이 가능해진다.
• $\sum_{\lambda \in P_\ell} |\operatorname{Tr}_{V_\lambda}(t)|^2$는 $L^2(T_\ell)$에서의 직교성 관계를 사용하여 평가되며, 결과적으로 $|T_\ell| / \Delta(t)$를 얻는다.
• 공식은 $t = \exp(2\pi i (\mu + \rho)/(\ell + h^\vee))$일 때 $\Delta(t) = \prod_{\alpha > 0} |2 \sin(\pi (\alpha | \mu + \rho)/(\ell + h^\vee))|^{2-2g}$라는 항등식을 통해 표준 Verlinde 공식과 동치임을 보였다.
• 유도 과정은 $\mathfrak{g}$가 A, B, C, D 또는 $G_2$ 형식이며, $\mathfrak{g}$가 단순하고 $\ell$가 양의 정수임을 가정할 때 유효하다.