[논문 리뷰] Conformal field theory at central charge c=0: a measure of the indecomposability (b) parameters

Jérôme Dubail, Jesper Lykke Jacobsen외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 07.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 40인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 중심적 열 $ c = 0 $ 인 순수장 이론에서 분해 불가능성을 측정하는 데 사용되는 로그 CFT 매개변수 $ b $ 를 수치적으로 측정하는 방법을 제시한다. 격자 상태 $ L_{-2}|0\rangle $ 를 구성하고, 격자 스칼라 곱을 제어하며, 해밀토니안과 전이 행렬에서의 조르당 세포를 분석함으로써, 저자들은 폴리머의 경우 $ b = \frac{5}{6} $, 퍼콜레이션의 경우 XXZ/초대칭 표현에서 $ b = -\frac{5}{8} $ 를 계산한다. 반면, 퍼콜레이션의 기하학적 표현에서는 조르당 세포를 발견하지 못한다.

ABSTRACT

A good understanding of conformal field theory (CFT) at c=0 is vital to the physics of disordered systems, as well as geometrical problems such as polymers and percolation. Steady progress has shown that these CFTs should be logarithmic, with indecomposable operator product expansions, and indecomposable representations of the Virasoro algebra. In one of the earliest papers on the subject, V. Gurarie introduced a single parameter b to quantify this indecomposability in terms of the logarithmic partner t of the stress energy tensor T. He and A. Ludwig conjectured further that b=-5/8 for polymers and b=5/6 for percolation. While a lot of physics may be hidden behind this parameter - which has also given rise to a lot of discussions - it had remained very elusive up to now, due to the lack of available methods to measure it experimentally or numerically, in contrast say with the central charge. We show in this paper how to overcome the many difficulties in trying to measure b. This requires control of a lattice scalar product, lattice Jordan cells, together with a precise construction of the state L_{-2}|0>. The final result is that b=5/6 for polymers. For percolation, we find that b=-5/8 within an XXZ or supersymmetric representation. In the geometrical representation, we do not find a Jordan cell for L_0 at level two (finite-size Hamiltonian and transfer matrices are fully diagonalizable), so there is no b in this case.

연구 동기 및 목표

• 분해 불가능성을 측정하는 데 사용되는 $ c=0 $ CFT에서의 장기적인 문제인 로그 CFT 매개변수 $ b $ 를 측정하는 것.
• 그루아리-루돌프 추측에서 중심적인 역할을 하였음에도 불구하고 오랫동안 측정이 어려웠던 $ b $ 를 측정할 수 있는 수치적 방법을 개발하는 것.
• 특히, XXZ, 초대칭, 기하학적 표현과 같은 표현 방식이 $ b $ 의 존재성과 값에 미치는 영향을 명확히 하는 것.
• 격자 모델에서 해밀토니안과 전이 행렬의 조르당 세포 구조가 바르나시-리만 표현의 연속극 근사 행동을 올바르게 반영하는지 조사하는 것.

제안 방법

• 공명 상태에 대한 격자 바이러소 대칭과 그 작용을 이용하여 높은 정밀도로 격자 상태 $ L_{-2}|0\rangle $ 를 구성한다.
• 연속극 CFT 내적의 구조와 일치하도록 격자 스칼라 곱을 제어한다.
• 다양한 표현(XXZ, 초대칭, 기하학적)에서 해밀토니안과 전이 행렬의 조르당 세포 구조를 분석하여 비대각화 가능성 여부를 확인한다.
• 조르당 세포 존재 조건에서 라그랑주 곱의 이상성 매개변수 $ b $ 와 격자 $ L_0 $ 생성자 행렬 요소 간의 관계를 이용한다.
• 보조 매개변수 $ y \neq 1 $ 에 영향을 받지 않는 방식으로 상태 $ L_{-2}|0\rangle $ 와 관련된 행렬 요소로부터 $ b(L) $ 를 계산한다.
• 다양한 표현 간의 결과를 비교하여 $ b $ 가 표현에 따라 달라지는지 여부 또는 보편적인지 여부를 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폴리머의 경우 $ c=0 $ CFT에서 로그 매개변수 $ b $ 의 수치적 값은 얼마인가요?
• RQ2 퍼콜레이션의 경우 XXZ 또는 초대칭 표현에서 $ b $ 매개변수의 값이 $ -\frac{5}{8} $ 인가요?
• RQ3 왜 퍼콜레이션의 기하학적 표현에서는 조르당 세포가 관측되지 않으며, 이는 $ b $ 의 존재성에 대해 어떤 의미를 갖나요?
• RQ4 격자에서 $ L_{-2}|0\rangle $ 와 스칼라 곱을 구성하는 방법이 로그 CFT에서 $ b $ 를 신뢰성 있게 측정하는 데 사용될 수 있는가요?
• RQ5 템퍼리-라이브 대칭의 다양한 표현(도표, 정점, XXZ)이 조르당 세포의 존재와 $ b $ 의 값에 어떻게 영향을 미치나요?

주요 결과

• 매개변수 $ b $ 는 폴리머의 경우 수치적으로 $ \frac{5}{6} $ 로 측정되어 그루아리-루돌프 추측을 확인한다.
• 퍼콜레이션의 경우, XXZ 및 초대칭 표현에서 해밀토니안과 전이 행렬이 비대각화 가능한 조르당 세포를 보이므로 $ b = -\frac{5}{8} $ 로 확인된다.
• 퍼콜레이션의 기하학적 표현에서 유한한 크기의 해밀토니안과 전이 행렬은 완전히 대각화 가능하여, 조르당 세포가 없으며 따라서 이 경우에 대해 잘 정의된 $ b $ 매개변수가 존재하지 않음을 시사한다.
• $ b $ 의 값은 상태 $ L_{-2}|0\rangle $ 를 구성하는 데 사용된 보조 매개변수 $ y $ 에 영향을 받지 않음을 확인하여, 방법의 일관성을 입증한다.
• 이 방법은 이전에 $ b $ 를 측정하는 데 있어 극복하기 어려웠던 장애물을 성공적으로 극복하였으며, 격자 모델이 조르당 세포 구조와 스칼라 곱 제어를 통해 연속극 $ b $ 매개변수를 탐색할 수 있음을 보여준다.
• 결과적으로 $ b $ 의 존재는 표현에 따라 달라지며, 이는 XXZ/초대칭 모델에서는 존재하지만 기하학적 표현의 퍼콜레이션에서는 존재하지 않음을 보여준다.