[논문 리뷰] Conformal transformation on metric measure spaces

Bang-Xian Han|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 26인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 메트릭 측도 공간 위에서 최초로 비미분 가능하고 내재적인 등각 변환 프레임워크를 수립하며, 메트릭과 측도의 등각 변화 하에서 리만니안 리치 곡률, 라플라스 연산자, 헤시안, 미분 구조가 어떻게 변하는지 명시적인 공식을 유도한다. 주요 기여는 고전적인 등각 리치 곡률 공식의 비미분 가능 일반화로, 이는 등각 변형 하에서도 곡률-차원 조건을 유지할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We study several problems concerning conformal transformation on metric measure spaces, including the Sobolev space, the differential structure and the curvature-dimension condition under conformal transformations. This is the first result about preservation of lower curvature bounds under perturbation, which is new even on Alexandrov spaces.

연구 동기 및 목표

• 메트릭 측도 공간에 대해 엄밀하고 내재적인 등각 변환 이론을 개발하여 고전적 리만니안 등각 기하학을 비미분 가능한 환경으로 확장한다.
• 메트릭과 측도의 등각 변화 하에서 소볼레프 공간, 미분 구조, 곡률-차원 조건이 어떻게 변하는지 기술한다.
• RCD*(K,N) 및 RCD(K,∞) 곡률-차원 조건이 등각 변환 하에서도 유지되는 조건을 수립한다.
• 고전적인 등각 리치 곡률 공식 (1.1)을 국소 힐베르트 공간이면서 비미분 가능한 메트릭 측도 공간으로 일반화한다.
• 소볼레프에서 리프시츠 성질이 등각 변환 하에서도 유지됨을 증명하여, 비미분 가능한 환경에서 박리-에메리 이론을 적용할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 제약 조건이 없는 미분 구조가 존재하지 않는 상황에서, 새로운 가중 메트릭 $\mathrm{d}'(x,y) = \inf_\gamma \int_0^1 |\dot\gamma_t| e^{w(\gamma_t)} dt$ 와 가중 측도 $\mathfrak{m}' = e^v \mathfrak{m}$ 를 이용해 메트릭 측도 공간 위의 등각 변환을 정의한다. 여기서 $w,v$ 는 유계 연속 함수이다.
• 소볼레프 공간 $W^{1,2}(M)$ 과 $W^{1,2}(M')$ 이 집합으로서 일치하며, $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서 $|\mathrm{D}f|_{M'} = e^{-w} |\mathrm{D}f|_M$ 임을 증명한다.
• 카르레 두 샹프로세스 $\Gamma$ 를 사용하여 변환된 라플라스 연산자 $\mathbf{\Delta}'f = e^{v-2w} (\mathbf{\Delta}f + \Gamma(v-2w,f) \mathfrak{m})$ 를 도출한다.
• 기울기의 변환 법칙을 $\nabla'f = e^{-2w} \nabla f$ $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서, 내적은 $\langle X,Y \rangle_{M'} = e^{2w} \langle X,Y \rangle$ $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서 성립함을 증명한다.
• 헤시안 변환 공식을 유도한다: $|\mathrm{Hess}'_f|^2_{\rm HS} = e^{-4w} \big( |\mathrm{Hess}_f|^2_{\rm HS} + 2\Gamma(f)\Gamma(w) + (\dim_{\rm loc}-2)\Gamma(f,w)^2 - 2\Gamma(w,\Gamma(f)) + 2\Gamma(f,w)\mathrm{tr}\,\mathrm{Hess}_f \big)$ $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서 성립한다.
• 연관 미분 변환 법칙을 수립한다: $\nabla'X:^\prime(Y \otimes Z) = \nabla X:(Y \otimes Z) - \langle Y,\nabla w \rangle \langle X,Z \rangle - \langle Z,\nabla w \rangle \langle X,Y \rangle + \langle X,\nabla w \rangle \langle Y,Z \rangle$ $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 미분 가능한 리만니안 구조가 없는 상황에서, 메트릭 측도 공간 위에서 등각 변환를 어떻게 내재적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 비미분 가능한 메트릭 측도 공간에서 메트릭과 측도의 등각 변화 하에 $N$-리치 곡률 텐서가 어떻게 변하는지 정확한 변환 법칙은 무엇인가?
• RQ3 등각 변환 하에서 $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 조건이 언제 유지되는가?
• RQ4 박리-에메리 이론에 필수적인 소볼레프에서 리프시츠 성질이 비미분 가능한 설정에서 등각 변환 하에서도 유지되는가?
• RQ5 비미분 가능한 등각 리치 곡률 공식은 리만니안 기하학의 고전적 공식 (1.1)과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 소볼레프 공간 $W^{1,2}(M)$ 과 $W^{1,2}(M')$ 는 집합으로 일치하며, 약상한 상한 도함수는 $|\mathrm{D}f|_{M'} = e^{-w} |\mathrm{D}f|_M$ $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서 성립한다.
• 라플라스 연산자는 $f \in \mathrm{D}(\mathbf{\Delta}')$ 에 대해 $\mathbf{\Delta}'f = e^{v-2w} (\mathbf{\Delta}f + \Gamma(v-2w,f) \mathfrak{m})$ 로 변환된다.
• 기울기는 $\nabla'f = e^{-2w} \nabla f$ $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서, 내적은 $\langle X,Y \rangle_{M'} = e^{2w} \langle X,Y \rangle$ $\mathfrak{m}$-거의 모든 곳에서 성립한다.
• 헤시안은 국소 차원과 곡률 항을 포함한 $|\mathrm{Hess}'_f|^2_{\rm HS}$ 와 $\mathrm{tr}\,\mathrm{Hess}'_f$ 를 포함하는 명시적 공식을 통해 변환된다.
• 비미분 가능한 등각 리치 곡률 공식은 $\mathbf{Ricci}^\prime_N(\nabla'f,\nabla'f) = e^{(N-4)w} \big( \mathbf{Ricci}_N(\nabla f,\nabla f) + \cdots \big)$ 로 도출되었으며, 고전 공식 (1.1)을 일반화한다.
• $\mathrm{RCD}^*(K,N)$ 조건은 $K^\prime = \inf_{x \in X} e^{-2w} \big[ K - \Delta w - (N-2)\Gamma(w) - \sup_f \frac{N-2}{\Gamma(f)} (\mathrm{Hess}_w(\nabla f,\nabla f) - \Gamma(w,f)^2) \big]$ 가 유한하고 실수값을 가지는 경우 등각 변환 하에서도 유지된다.