[논문 리뷰] Congruence between Duke-Imamoglu-Ikeda lifts and non-Duke-Imamoglu-Ikeda lifts

Hidenori Katsurada|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 18.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 모듈라 형식의 헤크 필드에 속한 소 아이디얼이 두정도의 두크-임아고루-이케다 상승과 비상승 시겔 촉성형식 사이의 합동을 유도할 조건을 설정한다. 이러한 합동은 특정 정수성 조건 하에 해당 타원형 모듈라 형식의 표준 L함수와 고정형 L함수의 특수값 곱의 대수적 부분의 분자에 소가 나누어질 때 정확히 발생함을 보여준다.

ABSTRACT

Let k and n be positive even integers. For a cuspidal Hecke eigenform g in the Kohnen plus subspace of weight k-n/2+1/2 and level 4, let I(g) be the Duke-Imamoglu-Ikeda lift of g in the space of cusp forms of weight k for Sp(n,Z), and f the primitive form of weight 2k-n for SL(2,Z) corresponding to g under the Shimura correspondence. We then characterize prime ideals giving congruence between I(g) and another cuspidal Hecke eigenform not coming from the Duke-Imamoglu-Ikeda lift in terms of the specilal values of the Hecke L-function and the adjoint L-function of f.

연구 동기 및 목표

• 차수 n과 무게 k를 가진 시겔 모듈라 형식 공간에서 두크-임아고루-이케다 상승과 비상승 시겔 촉성형식 사이의 합동을 유도하는 소 아이디얼을 특성화하는 것.
• 사이다-쿠로카와 및 도이-나가누마 상승의 경우에 이전에 얻어진 합동 결과를 두크-임아고루-이케다 상승 설정으로 확장하는 것.
• 해당 타원형 모듈라 형식에 부착된 L함수의 특수값을 통해 이러한 합동을 특성화하는 기준을 제공하는 것.
• 두크-임아고루-이케다 구성의 맥락에서 상승형과 비상승형 사이의 합동에 관한 추측을 해결하는 것.
• 특수값 계산을 통한 명시적 수론적 계산을 통해 이케다 상승과 비이케다 상승 사이의 비자명한 합동의 존재를 보여주는 것.

제안 방법

• Hecke 고형식 g가 Γ₀(4)에서의 Kohnen 플러스 공간에 속해 있고 무게가 k−n/2+1/2일 때, 이를 SL₂(ℤ)에서의 무게 2k−n의 원시형식 f와 연결하기 위해 쇼무의 대응을 사용한다.
• 표준 L함수와 표준 제타 함수를 이용하여 Spₙ(ℤ)에서의 무게 k의 시겔 촉성형식으로서 Iₙ(g)인 두크-임아고루-이케다 상승을 구성한다.
• 시겔 모듈라 형식에 대한 표준 제타 함수 이론을 적용하여 Iₙ(g)의 푸리에 계수를 f의 L함수의 특수값과 연결한다.
• 함수방정식과 발트스푸거 유형의 공식을 사용하여 L(2m, Iₙ(g), St)의 대수적 부분을 f의 L(s, f)와 L(s, f, Ad)의 특수값과 연결한다.
• P가 페테르손 내적의 노름을 나누지 않도록 보장하기 위해 ⟨f,f⟩ / (Ω(f,+,𝒜ₚ)Ω(f,−,𝒜ₚ))의 비율에 정수성 조건을 도입한다.
• 스투르름의 경계를 적용하여 작은 소수에 대해 헤크 고형식의 고형식 계수에 대한 합동이 전체적으로 f와 f′ 사이의 합동을 유도함을 보이며, 만약 P가 정규화된 내적을 나누면 모순이 발생함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈라 형식 f의 헤크 필드에 속한 어떤 소 아이디얼이 그의 두크-임아고루-이케다 상승과 비상승 시겔 촉성형식 사이의 합동을 유도하는가?
• RQ2 이러한 합동 소는 f에 부착된 L함수의 특수값을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 Iₙ(g)와 비이케다 상승 사이의 합동이 기저 타원형 모듈라 형식 f와 f′ 사이의 합동을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 특수값 계산을 통해 이케다 상승과 비이케다 상승 사이의 명시적 합동을 구성할 수 있는가?
• RQ5 ⟨f,f⟩ / (Ω(f,+,𝒜ₚ)Ω(f,−,𝒜ₚ))의 정수성은 임의의 합동을 제거하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모듈라 형식 f의 헤크 필드에 속한 소 아이디얼 𝔓는 L(k,f) × ∏_{i=1}^{n/2−1} L(2i+1,f,Ad)의 대수적 부분의 분자에 나누어들면, 정확히 Iₙ(g)와 비두크-임아고루-이케다 상승 사이의 합동을 유도한다.
• n=4와 k=18일 때, 소 211은 f의 헤크 필드에서 분할되며, 그 중 하나의 인자가 특수값 곱의 분자에 나누어들어 합동 소가 된다.
• 합동 소 211(또는 그 켤레)는 다른 이케다 상승 I₄(g₂)에 대해 합동 소가 아니며, 이는 다른 상승에 의해 유도된 것이 아님을 확인한다.
• 따라서 합동 소 211은 I₄(g)가 생성하는 공간의 직교보완에 대해 진정한 합동 소이며, 비자명한 합동의 존재를 증명한다.
• 내적 비율이 P-정수임을 보여 이케다 상승에 의해 유도된 합동의 가능성은 배제되며, 그러한 상승이 존재하지 않음을 모순으로 이끌어낸다.
• 예시는 정리 4.7의 기준이 효과적임을 확인하며, 차수 4와 무게 18인 시겔 모듈라 형식 공간에서 비자명한 합동을 유도함을 보여준다.