[논문 리뷰] Congruence properties of depths in some random trees

Svante Janson|ArXiv.org|2005. 09. 21.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 31인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 Pólya 우산과 생성함수를 사용하여 세 가지 유형의 무작위 트리—무작위 재귀 트리(RRT), 무작위 이진 탐색 트리(BST), 조건부 Galton–Watson 트리(CGWT)—에서 정점 깊이의 모듈로 m에 대한 수의 渐近 분포를 조사한다. 연구는 단서 전이를 드러낸다: RRT와 BST의 경우, 깊이 ≡ 0 mod m인 정점의 수는 m ≤ 6(RRT) 또는 m ≤ 8(BST)일 때에만 渐近 정규분포를 이룬다. 이때 분산은 작은 m에서는 선형적으로 증가하고, 더 큰 m에서는 선형보다 빠르게 증가한다. 반면 CGWT는 이러한 전이가 없으며, 모든 m에 대해 渐近 정규분포를 유지한다.

ABSTRACT

Consider a random recusive tree with n vertices. We show that the number of vertices with even depth is asymptotically normal as n tends to infinty. The same is true for the number of vertices of depth divisible by m for m=3, 4 or 5; in all four cases the variance grows linearly. On the other hand, for m at least 7, the number is not asymptotically normal, and the variance grows faster than linear in n. The case m=6 is intermediate: the number is asymptotically normal but the variance is of order n log n. This is a simple and striking example of a type of phase transition that has been observed by other authors in several cases. We prove, and perhaps explain, this non-intuitive behavious using a translation to a generalized Polya urn. Similar results hold for a random binary search tree; now the number of vertices of depth divisible by m is asymptotically normal for m at most 8 but not for m at least 9, and the variance grows linearly in the first case both faster in the second. (There is no intermediate case.) In contrast, we show that for conditioned Galton-Watson trees, including random labelled trees and random binary trees, there is no such phase transition: the number is asymptotically normal for every m.

연구 동기 및 목표

• 다양한 무작위 트리 모델에서 깊이가 j 모듈로 m과 합동인 정점의 수의 渐近 분포를 분석하기 위해.
• 이 수가 언제 渐近 정규분포를 이루고 언제 이루지 않는지를 규명하기 위해.
• m의 값에 따라 분포적 행동에서 발생하는 단서 전이의 기원을 설명하기 위해.
• 큰 m에서의 비정규성은 방법의 오류가 아니라 극한에서 진정한 진동 행동임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 깊이 클래스 수의 渐近 행동을 분석하기 위해 깊이 수 문제를 일반화된 Pólya 우산 모델로 번역하기 위해.
• 우산의 전이 행렬의 스펙트럼 분석, 특히 두 번째로 큰 고유값의 실수부를 사용하여 단서 전이 임계점을 결정하기 위해.
• Cramér–Wold 장치와 복소수 정규분포 근사법을 적용하여 깊이 클래스 수의 공동 渐近 정규분포를 평가하기 위해.
• 조건부 Galton–Watson 트리의 극한 법칙을 유도하기 위해 생성함수와 특이점 분석을 사용하기 위해.
• 수치 계산을 통해 m ≥ 7(RRT) 및 m ≥ 9(BST)일 때 극한 분포에서 진정한 진동이 존재하는지 검증하기 위해 고차수 모멘트를 계산하기 위해.
• Z_m 위의 이산 푸리에 변환을 사용하여 깊이 분포를 분해하고 특성 함수의 행동을 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 재귀 트리에서 n → ∞일 때, 깊이 ≡ 0 mod m인 정점의 수가 언제 渐近 정규분포를 이룰까?
• RQ2 깊이 클래스 수의 渐近 분포에서 발생하는 단서 전이는 무엇에 의해 결정되며, 왜 RRT에서는 m = 7, BST에서는 m = 9에서 발생하는가?
• RQ3 RRT와 BST에서 깊이 클래스 수의 분산 성장률은 m에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 왜 조건부 Galton–Watson 트리 모델은 RRT와 BST와는 달리 동일한 단서 전이를 보이지 않는가?
• RQ5 큰 m에서 관측된 극한 분포의 진동은 정규화의 산물인지, 아니면 분포의 진정한 특성인가?

주요 결과

• 무작위 재귀 트리에서 짝수 깊이 정점 수(m=2)는 선형 분산 증가와 함께 渐近 정규분포를 이룬다. 이는 m=3,4,5일 때에도 동일하게 성립한다.
• m ≥ 7일 경우, 깊이 ≡ 0 mod m인 정점의 수는 渐近 정규분포를 이루지 않으며, 분산은 선형보다 빠르게 증가한다.
• m=6일 경우, 분포는 渐近 정규분포를 이루지만 분산은 n log n 비율로 증가하므로 중간 사례로 간주된다.
• 무작위 이진 탐색 트리에서는 m ≤ 8일 때 渐近 정규분포가 성립하며 분산은 선형적으로 증가하지만, m ≥ 9일 경우 분산 증가율이 초선형으로 증가하여 실패한다.
• 반면 조건부 Galton–Watson 트리에서는 깊이 ≡ 0 mod m인 정점의 수가 모든 m에 대해 渐近 정규분포를 이룬다. 단서 전이가 존재하지 않는다.
• 수치적 검증을 통해 RRT의 경우 m ≥ 7, BST의 경우 m ≥ 9일 때 극한 분포에서 진정한 진동이 존재함을 확인하였으며, 정규화 오류의 가능성은 배제되었다.