[논문 리뷰] Congruence RFRS towers

Ian Agol, Matthew Stover|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 또는 복소수 하이퍼볼릭 격자들이 순서가 끝나는 유리수 해석 가능 아벨 군의 탑을 완전히 포함하는 조건을 설정한다. 이 조건을 이용해, d ≢ −1 mod 8 이고 제곱 자유수인 특정한 Bianchi 군 PSL₂(𝒪𝒹)가 모듈로 군에 대한 가상의 섬유화됨을 증명하고, PU(2,1)에서의 Deligne–Mostow 격자의 모듈로 군을 통해, 표면 군과 아벨 군의 곱의 부분군이 아닌 최초의 RFRS 카일러 군 예를 구성한다.

ABSTRACT

We describe a criterion for a real or complex hyperbolic lattice to admit a RFRS tower that consists entirely of congruence subgroups. We use this to show that certain Bianchi groups $\mathrm{PSL}(\mathcal{O}_d)$ are virtually fibered on congruence subgroups, and also exhibit the first examples of RFRS Kähler groups that are not a subgroup of a product of surface groups and abelian groups.

연구 동기 및 목표

• 하이퍼볼릭 격자가 순서가 끝나는 유리수 해석 가능 아벨 군의 탑을 완전히 포함하는 조건을 개발하는 것.
• d ≢ −1 mod 8 이고 제곱 자유수인 특정한 Bianchi 군 PSL₂(𝒪𝒹)가 모듈로 군에 대해 가상의 섬유화됨을 입증하는 것.
• 표면 군과 아벨 군의 곱의 부분군이 아닌 최초의 RFRS 카일러 군 예를 구성하는 것.
• SO(n,1) 및 SU(n,1)에서의 산술 격자의 모듈로 군에 대해 RFRS 탑 구축 방법을 p-진 Bruhat–Tits 빌딩의 맥락에서 수학적으로 확장하는 것.

제안 방법

• Bianchi 군이 O(4,1;ℤ)에 가상으로 통합될 수 있음을 활용하여, 이 정수 격자에서의 모듈로 군을 사용해 RFRS 탑을 구성할 수 있도록 한다.
• 격자의 공통자와 𝔭-진 Bruhat–Tits 빌딩의 구조를 이용한 일반적 구성 방법을 적용하여, 귀납적으로 군 원소 gₙ를 정의함으로써, 코너의 교차가 RFRS 탑을 이루도록 한다.
• 적절히 𝒢(k)에서 g₁를 선택함으로써, 몫 Γ / (Γ ∩ g₁Γg₁⁻¹)가 기본 아벨 p-군이 되도록 보장하며, 이는 H¹(Γ;ℤ)에서 p- torsion이 없음을 기반으로 한다.
• Magma에서 구현된 Reidemeister–Schreier 알고리즘을 사용해 Bianchi 군에서의 주요 모듈로 군 Γ(𝔭)의 표현과 아벨화를 계산한다.
• 명시적인 군 표현과 소 아이디얼 𝔭에 대한 모듈로 환산을 사용해, 첫 번째 호모로지 군 H¹(Γ(𝔭);ℤ)을 분석하여 토퍼션과 랭크를 탐지한다.
• Deligne–Mostow 격자에서의 모듈로 군으로서 RFRS 카일러 군을 구성하고, 이들이 표면 군과 아벨 군의 곱의 부분군이 아니라는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 또는 복소수 하이퍼볼릭 격자가 순서가 끝나는 유리수 해석 가능 아벨 군의 탑을 완전히 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 d ≢ −1 mod 8 이고 제곱 자유수인 Bianchi 군 PSL₂(𝒪𝒹)는 모듈로 군에 대해 가상의 섬유화됨을 보일 수 있는가?
• RQ3 표면 군과 아벨 군의 곱의 부분군이 아닌 RFRS 카일러 군을 구성할 수 있는가?
• RQ4 p-진 Bruhat–Tits 빌딩을 활용해 SO(n,1) 및 SU(n,1)에서의 산술 격자의 모듈로 군에 대해 RFRS 탑 구축을 체계적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 첫 번째 호모로지 군의 p-토션 없음 조건이 RFRS 탑의 귀납적 구성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• d ≢ −1 mod 8 이고 제곱 자유수인 Bianchi 군 PSL₂(𝒪𝒹)는 순서가 끝나는 유리수 해석 가능 아벨 군의 탑을 완전히 포함하며, 이는 모듈로 군에 대한 가상의 섬유화됨을 의미한다.
• K = ℚ(√−1)에 대해, 노름 49인 주요 모듈로 군 Γ(𝔭)는 H¹(Γ(𝔭);ℤ)에서 랭크 825와 토퍼션 크기 7⁶를 가지며, 비자명한 호모로지 구조를 확인한다.
• K = ℚ(√−2)에 대해, 노름 67인 모듈로 군은 토퍼션 크기 2²⁰⁰·3¹³⁵·239⁶⁶·271⁶⁶·647⁶⁶·727⁶⁸·38011⁶⁶·47917⁶⁸를 가지며, 호모로지에서 큰 토퍼션을 보여준다.
• K = ℚ(√−11)에 대해, 노름 59인 모듈로 군은 토퍼션 크기 2³⁴⁸·3⁴⁰⁸·5⁵⁸·7¹¹⁶·11⁵⁸·17¹²⁰·19⁵⁸·31⁵⁸·59⁵⁸·199⁵⁸·233⁶⁰·5279⁶⁰·20341⁵⁸를 가지며, 호모로지에서 광범위한 토퍼션을 보여준다.
• 표면 군과 아벨 군의 곱의 부분군이 아닌 최초의 RFRS 카일러 군은 PU(2,1)에서의 Deligne–Mostow 격자의 모듈로 군으로서 실현되었다.
• RFRS 탑의 구성은 H¹(Γ;ℤ)에서의 p-토션 없음 조건에 의존하며, 𝔭-진 Bruhat–Tits 빌딩을 통한 귀납적 군 원소 선택은 탑이 RFRS임을 보장한다.