[논문 리뷰] Congruences between Heegner points and quadratic twists of elliptic curves

Daniel Kriz, Chao Li|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모듈로 $p$ 갈루아 표현이 동형인 타원곡선 위의 $p$-진 로그 사이의 합동 공식을 수립하여, 해그너 점의 $p$-진 로그 간의 관계를 규명함으로써 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist의 구성이 가능해지며, 이는 골드펠드 추측에 대한 기존의 추정치를 크게 향상시킨다. 특히 2-진 로그 조건을 만족하는 광범위한 타원곡선의 클래스에 대해, $r=0,1$ 일 때 $N_r(E,X) \gg X / \log^{5/6}X$ 를 증명한다. 이는 많은 이차-twist에 대해 버치와 스위너튼-다이의 추측의 2-부분을 검증하는 데 기여한다.

ABSTRACT

We establish a congruence formula between $p$-adic logarithms of Heegner points for two elliptic curves with the same mod $p$ Galois representation. As a first application, we use the congruence formula when $p=2$ to explicitly construct many quadratic twists of analytic rank zero (resp. one) for a wide class of elliptic curves $E$. We show that the number of twists of $E$ up to twisting discriminant $X$ of analytic rank zero (resp. one) is $\gg X/\log^{5/6}X$, improving the current best general bound towards Goldfeld's conjecture due to Ono--Skinner (resp. Perelli--Pomykala). We also prove the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for many rank zero and rank one twists of $E$, which was only recently established for specific CM elliptic curves $E$.

연구 동기 및 목표

• 모듈로 $p$ 갈루아 표현이 동형인 타원곡선 위의 해그너 점에 대한 $p$-진 로그 사이의 합동을 수립한다.
• 이 합동을 활용하여 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 타원곡선의 이차-twist를 구성함으로써 골드펠드 추측에 대한 기존의 추정치를 향상시킨다.
• 광범위한 타원곡선의 클래스에 대해 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist에 대해 버치와 스위너튼-다이 추측의 2-부분을 증명한다.
• 비-CM 타원곡선에 적용 가능한 일반적인 프레임워크를 제공함으로써 이전에 주로 CM 곡선에 국한된 결과를 확장한다.

제안 방법

• 모듈로 $p$ 갈루아 표현이 동형인 두 타원곡선 위의 해그너 점에 대한 $p$-진 로그 사이의 합동 공식을 유도하며, 이때 $p=2$ 를 핵심 사례로 삼는다.
• 합동을 이용해 이차-twist의 특별한 $L$-값과 $p$-진 $L$-함수 간의 관계를 규명하며, 이차-twist가 모듈로 2 갈루아 표현을 유지한다는 사실을 활용한다.
• 합동을 활용해 해그너 점의 $2$-진 로그가 모듈로 2에서 0이 아님을 보장함으로써 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist를 구성한다.
• $p$-진 버치와 스위너튼-다이 추측과 그로스–자지어 정리의 $p$-역을 적용하여 구성된 이차-twist에 대해 버치와 스위너튼-다이 추측의 2-부분을 유도한다.
• 해그너 점 구성과 반시계 방향 $p$-진 $L$-함수를 활용해 이차-twist의 $L$-값이 모듈로 $p$에서 0이 아님을 분석한다.
• 특히 작은 판별식과 $E=11a1$ 와 같은 특정 곡선에 대해, $2$-진 로그의 명시적 계산과 모듈로 2로의 환원을 통해 핵심 조건 (\bigstar) 을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈로 $p$ 갈루아 표현이 동형인 타원곡선에 대해 해그너 점의 $p$-진 로그 사이의 합동을 수립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 합동이 양의 조밀도를 가진 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist의 구성에 기여하는가?
• RQ3 비-CM 타원곡선의 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist에 대해 버치와 스위너튼-다이 추측의 2-부분을 검증할 수 있는가?
• RQ4 약간의 산술 조건 하에서, 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist의 수에 대해 가능한 최고의 하한 추정치는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $E/\mathbb{Q}$ 에 대해 $E(\mathbb{Q})[2]=0$ 이고 조건 (\bigstar) 을 만족할 경우, $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[2]) / \mathbb{Q}) \cong S_3$ 이면, $X$ 이하의 도수를 가진 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist의 수는 $\gg X / \log^{5/6}X$ 이다.
• $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(E[2]) / \mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 이면, 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 이차-twist의 수에 대한 추정치는 $\gg X / \log^{2/3}X$ 로 향상된다.
• 많은 분석적 임계수 0 또는 1을 가진 $E$ 의 이차-twist에 대해 버치와 스위너튼-다이 추측의 2-부분이 검증되었으며, 이는 이전에 주로 CM 곡선에 국한된 결과를 넘어서는 것이다.
• 명시적 예시로, $E=11a1$ 은 도수 $\leq 750$ 이고 $d_K = -7$ 인 39개의 임계수 0 곡선 중 28개에서 조건 (\bigstar) 이 성립함을 보여주며, 이는 추정치와 BSD 검증이 가능함을 시사한다.
• 이 방법은 광범위하게 적용 가능하다: $E$ 가 (\bigstar) 를 만족하지 않더라도, $E$ 의 이차-twist $E^*$ 가 이를 만족할 수 있으며, 이는 양의 비율을 가진 타원곡선에 대해 추정치가 성립함을 시사한다.
• 반시계 방향 $p$-진 $L$-함수의 $p=2$ 일 때 자명한 특성에 대해 모듈로 $p$에서의 0이 아님은 핵심적인 수론적 조건이며, 본 논문은 이 조건이 해그너 점 계산을 통해 확인될 수 있음을 보여준다.