[논문 리뷰] Conic singularities, generalized scattering matrix, and inverse scattering on asymptotically hyperbolic surfaces

Hiroshi Isozaki, Yaroslav Kurylev외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 콘형 특이점과 쿠스를 가진 점 渐近적으로 하이퍼볼릭인 표면에서 일반화된 산란 행렬이 리만 계량과 콘형 특이점의 구조를 유일하게 결정한다는 것을 입증한다. 쿠스 근처에서 헬름홀츠 방정식의 해를 분석함으로써 저자들은 기하학적 자료를 포함하는 일반화된 S-행렬을 정의하며, S-행렬의 등스펙트럴성(이sovance)이 전역 등장사상(global isometry)을 암시함을 증명한다. 특히 하이퍼볼릭 평면의 푸크스군에 의한 몫으로 얻어진 오비폴드의 경우, 이는 오비폴드 등장사상까지 포함한다.

ABSTRACT

We consider an inverse problem associated with some 2-dimensional non-compact surfaces with conical singularities, cusps and regular ends. Our motivating example is a Riemann surface $\mathcal M = Γ\backslash{\bf H}^2$ associated with a Fuchsian group of the 1st kind $Γ$ containing parabolic elements. $\mathcal M$ is then non-compact, and has a finite number of cusps and elliptic singular points, which is regarded as a hyperbolic orbifold. We introduce a class of Riemannian surfaces with conical singularities on its finite part, having cusps and regular ends at infinity, whose metric is asymptotically hyperbolic. By observing solutions of the Helmholtz equation at the cusp, we define a generalized S-matrix. We then show that this generalized S-matrix determines the Riemannian metric and the structure of conical singularities.

연구 동기 및 목표

• 점 渐진적으로 하이퍼볼릭인 표면에 대해 콘형 특이점, 쿠스, 정규 끝을 포함하는 일반화된 산란 행렬을 정의하기.
• 이 일반화된 S-행렬이 전체 리만 계량과 콘형 특이점의 구조를 결정한다는 것을 입증하기.
• 일반화된 S-행렬의 등스펙트럴성이 기저 표면의 전역 등장사상임을 증명하기.
• 기하학적으로 유한한 푸크스군이 하이퍼볼릭 평면에 작용하는 비유한 하이퍼볼릭 오비폴드로의 역산란 결과를 확장하기.

제안 방법

• 콘형 특이점, 쿠스, 정규 끝을 포함하는 2차원 리만 표면의 클래스를 정의하며, 이 계량은 점 渐진적으로 하이퍼볼릭이다.
• 쿠스 끝 근처에서 헬름홀츠 방정식의 해에 대한 점근적 분석을 통해 일반화된 S-행렬을 도입한다.
• 반경 방향 지오데식과 각도 매개변수를 사용하여 산란 행렬을 콘형 특이점 근처의 국소 계량 구조와 연결한다.
• 등장사상의 연속성을 이용하여 정규 부분에서 특이점으로의 등장사상을 확장한다.
• 비유한 하이퍼볼릭 오비폴드의 경우, 일반화된 S-행렬이 푸크스군의 공轭류(conjugacy class)를 결정함을 증명한다.
• 제거 가능한 특이점 정리와 균일화 커버를 적용하여 등장사상을 콘형 특이점으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 S-행렬은 점 渐진적으로 하이퍼볼릭인 표면의 콘형 특이점이 있는 경우 전체 리만 계량을 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 S-행렬은 콘 각도를 포함하여 콘형 특이점의 구조를 포함하고 있는가?
• RQ3 두 표면이 정규 끝이 등장사상이며 동일한 일반화된 S-행렬을 가질 경우, 전역적으로 등장사상인가?
• RQ4 일반화된 S-행렬은 하이퍼볼릭 평면에 작용하는 기하학적으로 유한한 푸크스군의 공轭류를 결정하는가?
• RQ5 타원 특이점을 가진 하이퍼볼릭 오비폴드에 대해 역산란 문제를 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 S-행렬은 콘형 특이점을 포함한 전체 표면의 리만 계량을 유일하게 결정한다.
• S-행렬은 식 (1.2)의 상수 $ C_p $ 를 통해 각 콘형 특이점의 콘 각도를 결정한다.
• 두 표면이 정규 끝이 등장사상이며 동일한 일반화된 S-행렬을 가질 경우, 전역적으로 등장사상이다.
• 일반화된 S-행렬은 하이퍼볼릭 평면에 기하학적으로 유한한 푸크스군의 공轭류를 결정한다.
• 표면 간의 등장사상은 콘형 특이점으로 분석적으로 확장되며, 이는 오비폴드 등장사상임을 암시한다.
• 증명은 표면의 기본 겹침을 통해 등장사상을 올리고, 제거 가능한 특이점 정리를 사용하여 특이점으로까지 확장한다.