[논문 리뷰] Conjectures about distinction and Asai $L$-functions of generic representations of general linear groups over local fields

Nadir Matringe|ArXiv.org|2008. 11. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 체의 이차 확장 $K/F$에 대한 $GL(n,K)$의 일반 표현에 대해 랭킨-셀버그 형식의 아사이 L-함수와 랭글랜즈 파라미터의 아사이 L-함수 사이의 추측적 동치성을 확립한다. 코글델과 피아테츠키-샤피로의 방법을 영감으로 삼아, 이 두 L-함수의 등식이 성립함과 동시에, 그 표현의 유도 쿼드라틱 스퀘어 인테그라블 표현에 기반한 구분된 일반 표현의 분류에 관한 추측이 참임과 동치임을 보이며, 주로 급수 표현에 대해 결과를 증명한다.

ABSTRACT

Let $K/F$ be a quadratic extension of p-adic fields. The Bernstein-Zelevinsky's classification asserts that generic representations are parabolically induced from quasi-square-integrable representations. We show, following a method developed by Cogdell and Piatetski-Shapiro, that the equality of the Rankin-Selberg type Asai $L$-function of generic representations of $GL(n,K)$ and of the Asai $L$-function of the Langlands parameter, is equivalent to the truth of a conjecture about classification of distinguished generic representations in terms of the inducing quasi-square-integrable representations. As the conjecture is true for principal series representations, this gives the expression of the Asai L-function of such representations.

연구 동기 및 목표

• 랭킨-셀버그 적분을 통한 정의된 아사이 $L$-함수와 $GL(n,K)$의 일반 표현의 랭글랜즈 파라미터로부터 유도된 아사이 $L$-함수 사이의 정확한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 아사이 $L$-함수의 해석적 성질—특히 0에서의 극—과 표현론적 개념인 구분성(비자명한 $GL(n,F)$-불변 선형형식의 존재) 사이의 관계를 조사하기 위해.
• 유도 쿼드라틱 스퀘어 인테그라블 표현의 갈루아 켤레와 쌍대성에 기반하여, 구분된 일반 표현을 특성화하는 추측을 제안하고 분석하기 위해.
• 구분된 표현에 관한 추측이 참임을 전제로 하여, 두 아사이 $L$-함수의 등식이 기약 주어진 급수 표현에 대해 성립함을 증명하기 위해.
• 두 아사이 $L$-함수의 등식이 구분된 일반 표현의 분류에 관한 추측의 참성과 동치임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 두 표현의 $L$-함수를 계산하기 위해 코글델과 피아테츠키-샤피로의 방법을 변형하여 아사이 $L$-함수 설정에 적용하며, 표현의 구분성에 중점을 둔다.
• 버너스타인-지엘레브스키 분류를 사용하여 일반 표현을 쿼드라틱 스퀘어 인테그라블 표현에서의 정규화된 포물형 유도로 표현한다.
• 위트너 모델 이론과 통합 연산자 이론을 적용하여, 랭킨-셀버그 적분의 메로모르픽 성질과 유도 데이터의 구조 사이의 관계를 규명한다.
• 랭킨-셀버그 적분의 함수방정식과 메로모르픽 연장 이론을 활용하여 아사이 $L$-함수의 극을 분석한다.
• 유도 표현의 귀납적 구조를 이용하여 $L$-함수를 부분표현과 그 갈루아 변환의 곱으로 분해한다.
• J-P-S에서 제시한 적분 공식을 적용하여 $GL(r,F)$ 위의 적분과 $GL(n,F)$ 위의 적분을 연결함으로써, 위트너 함수형식을 통한 $L$-함수 비교를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $GL(n,K)$의 일반 표현이 구분된다고 할 수 있는가(즉, 비자명한 $GL(n,F)$-불변 선형형식을 갖는가)? 이는 유도 쿼드라틱 스퀘어 인테그라블 표현에 대한 조건에 의해 결정된다.
• RQ2 일반 표현의 랭킨-셀버그 형식 아사이 $L$-함수와 그 랭글랜즈 파라미터의 아사이 $L$-함수 사이에 등식이 성립하는가?
• RQ3 일반 표현의 아사이 $L$-함수가 0에서 예외적 극을 가질 조건은 그 표현이 구분되었을 때뿐인가?
• RQ4 두 아사이 $L$-함수의 등식을 일반 표현의 유도 데이터의 구조에 관한 추측으로 환원할 수 있는가?
• RQ5 기약 주어진 급수 표현 $GL(n,K)$에 대한 아사이 $L$-함수의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 일반 표현 $ heta$에 대해 랭킨-셀버그 형식 아사이 $L$-함수 $L_F^K( heta)$와 랭글랜즈 파라미터의 아사이 $L$-함수 $L_F^{K,W}( heta)$ 사이의 등식은 1.1번 추측(구분된 표현의 분류에 관한)의 참성과 동치이다.
• 기약 주어진 급수 표현에 대해서는, 구분된 표현에 관한 추측이 참이므로, 이러한 표현들에 대해 $L_F^K( heta) = L_F^{K,W}( heta)$임을 유도할 수 있다.
• 유도 데이터에 관한 추측이 참이라면, 일반 표현 $ heta$의 아사이 $L$-함수는 0에서 예외적 극을 가질 조건이 $ heta$가 구분되었을 때뿐이다.
• 표현 $ heta$가 $ heta = heta_d imes heta_u$로 분해되고, $ heta_d$가 $ heta_{i+1}^ au = heta_i^ au$를 만족하는 표현들로부터 유도된 경우, $ heta_u$가 비자명하고 서로 다른, 구분되지 않은 표현들로 이루어져 있다면, $L_F^K( heta)$의 0에서의 극의 차수는 오직 $L_F^K( heta_d)$에 의해 결정된다.
• $L_F^K( heta_d)$는 오일러 인자 $L_{(0)}( heta)$를 나누며, 이는 $L_F^K( heta)$의 0에서의 극이 예외적이지 않음을 보장한다. 유일하게 예외적 극이 발생하는 경우는 $ heta_u = 0$일 때뿐이므로, 이는 해석적 성질과 표현론적 성질 사이의 연결고리를 확립한다.