[논문 리뷰] Conjugacy and cocycle conjugacy of automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ are not Borel

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Cuntz 대수 $\mathcal{O}_2$의 자동형사상들의 공轭과 코사이클 공轭이 완전한 해석적 집합임을 증명하며, 이는 보렐 집합이 아니라는 것을 의미한다. 이는 이러한 분류 문제의 복잡도가 보렐 동형관계를 가진 임의의 가산 구조의 분류 문제보다 엄격히 높음을 시사한다. 이 결과는 고정된 유한 차수를 가진 자동형사상에 대해서도 성립하며, 유니버설 계수 정리(UCT)를 만족하고 $K_1$-군이 자명한 치르크베르그 대수로까지 확장된다.

ABSTRACT

The group of automorphisms of the Cuntz algebra $\mathcal{O}_{2}$ is a Polish group with respect to the topology of pointwise convergence in norm. Our main result is that the relations of conjugacy and cocycle conjugacy of automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ are complete analytic sets and, in particular, not Borel. Moreover, we show that from the point of view of Borel complexity theory, classifying automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ up to conjugacy or cocycle conjugacy is strictly more difficult than classifying up to isomorphism any class of countable structures with Borel isomorphism relation. In fact the same conclusions hold even if one only considers automorphisms of $\mathcal{O}_{2}$ of a fixed finite order. In the course of the proof we will show that the relation of isomorphism of Kichberg algebras (with trivial $K_{1}$-group and satisfying the Universal Coefficient Theorem) is a complete anaytic set. Moreover, it is strictly more difficult to classify Kirchberg algebras (with trivial $K_{1}$-group and satisfying the Universal Coefficient Theorem) than classifying up to isomorphism any class of countable structures with Borel isomorphism relation.

연구 동기 및 목표

• Cuntz 대수 $\mathcal{O}_2$의 자동형사상들에 대한 공轭과 코사이클 공轭 관계의 보렐 복잡도를 규명하는 것.
• 이 관계들이 가산 구조의 보렐 동형관계로 분류 가능한지 여부 또는 엄격히 더 복잡한지 탐구하는 것.
• 보렐 복잡도 분석을 $K_1$-군이 자명하고 유니버설 계수 정리를 만족하는 치르크베르그 대수로 확장하는 것.
• $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 분류 난이도가 가산 구조의 동형관계 분류와 비교하여 어떻게 되는지 탐색하는 것.
• 단순 C*-대수의 맥락에서 이러한 관계의 비스무스성(non-smoothness)이 가산 구조로의 분류 불가능성을 암시하는지 탐구하는 것.

제안 방법

• $\mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2)$에 노름에 대한 점별 수렴 위상을 도입하여 폴란드 군 구조를 부여하는 것.
• 기술파생 집합 이론 도구를 활용하며, 특히 와도 감소성(Wadge reducibility)과 완전한 해석적 집합의 개념을 사용하는 것.
• 임의의 가산 구조의 동형관계에서 $K_1$-군이 자명하고 UCT를 만족하는 치르크베르그 대수의 동형관계로의 보렐 감소를 구축하는 것.
• 이러한 치르크베르그 대수의 동형관계가 완전한 해석적 집합임을 보이는 것.
• 치르크베르그 대수의 동형관계로부터의 감소를 통해 $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 공轭과 코사이클 공轭이 완전한 해석적 집합임을 증명하는 것.
• 완전한 해석적 집합은 보렐이 아니라는 사실을 이용하여, 이러한 분류 문제의 비보렐 성격을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2) \times \mathrm{Aut}(\mathcal{O}_2)$의 부분집합으로서 $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 공轭 관계가 보렐인가?
• RQ2 $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 코사이클 공轭 관계는 보렐인가, 아니면 엄격히 더 복잡한가?
• RQ3 $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 공轭 또는 코사이클 공轭에 대한 분류가 보렐 동형관계를 가진 가산 구조의 분류로 감소 가능한가?
• RQ4 $K_1$-군이 자명하고 UCT를 만족하는 치르크베르그 대수의 동형관계는 완전한 해석적 집합인가?
• RQ5 $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 코사이클 공轭 관계가 비스무스적이라면, 이는 가산 구조로의 분류 불가능성을 암시하는가?

주요 결과

• $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 공轭 관계는 완전한 해석적 집합이며, 따라서 보렐이 아니다.
• $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 코사이클 공轭 관계 역시 완전한 해석적 집합이며, 따라서 보렐이 아니다.
• 고정된 유한 차수를 가진 자동형사상으로 제한된 경우에도 공轭과 코사이클 공轭은 여전히 비보렐이다.
• $K_1$-군이 자명하고 유니버설 계수 정리를 만족하는 치르크베르그 대수의 동형관계는 완전한 해석적 집합이다.
• $\mathcal{O}_2$ 자동형사상의 공轭 또는 코사이클 공轭에 대한 분류는 보렐 동형관계를 가진 어떤 가산 구조의 분류 문제보다 엄격히 더 복잡하다.
• 결과적으로 코사이클 공轭 관계가 가산 구조로의 분류가 불가능하다는 것을 암시한다.