[논문 리뷰] Conjugacy Growth and Conjugacy Width of Certain Branch Groups

Elisabeth Fink|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정 분지군, 특히 그리고치크 군을 포함한 군들의 공轭 성장 함수에 하한을 설정하며, 이 성장 함수가 $ e^{n^{\tau}} $ 형태의 중간 성장률을 최소한으로 가지며 $ 0 < \tau < 1 $임을 보여준다. 또한 유한 공액 폭을 가진 단순 무한 분지군은 유계 공액 폭을 갖는다—즉, 모든 군 원소가 생성자의 공액을 일정한 상한 이내로 곱한 것으로 표현 가능하다—이를 적용하여, 모든 생성자 집합에 대해 그리고치크 군의 유한 팰린드롬 폭을 확인한다.

ABSTRACT

The conjugacy growth function counts the number of distinct conjugacy classes in a ball of radius $n$. We give a lower bound for the conjugacy growth of certain branch groups, among them the Grigorchuk group. This bound is a function of intermediate growth. We further proof that certain branch groups have the property that every element can be expressed as a product of uniformly boundedly many conjugates of the generators. We call this property bounded conjugacy width. We also show how bounded conjugacy width relates to other algebraic properties of groups and apply these results to study the palindromic width of some branch groups.

연구 동기 및 목표

• 정규 분지군의 클래스에 대해 공轭 성장 함수에 하한을 설정하는 것, 특히 그리고치크 군을 포함하여.
• 모든 군 원소가 생성자의 공액을 일정한 상한 이내로 곱한 것으로 표현 가능한 유계 공轭 폭(BCW) 성질을 조사하는 것.
• 특히 단순 무한 군이며 유한 공액 폭을 갖는 분지군이 BCW를 갖는 조건을 규명하는 것.
• BCW 결과를 팰린드롬 폭 연구에 적용하는 것, 특히 그리고치크 군에 대해.
• 그리고치크 군이 모든 유한 생성자 집합에 대해 유한 팰린드롬 폭을 갖는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 정규 분지군의 재귀적 구조를 이용하여 뿌리가 있는 트리 위에서 작용하는 군의 공轭 성장 함수를 분석한다.
• 중간 공轭 성장의 증명은 구면 동일성 트리 위에서의 자기 유사 작용을 이용해 공轭류를 구성하고, 수준별 성장률을 추정함으로써 이루어진다.
• 유계 공轭 폭은 단순 무한 성질과 유한 공액 폭을 조합하여 증명되며, 코스레프레젠테이브와 공액 분해에 대한 유계를 이용한다.
• 트리 수준에 대한 귀납법과 그리고치크 군의 와이어드 프로덕트 구조에 기반한 군 원소의 재귀적 분해를 사용한다.
• 핵심 기술 단계로는 도출된 부분군의 구조와 생성자의 공액을 이용해 공액의 수를 유계화하는 것.
• 팰린드롬 폭 결과는 BCW와 기존 결과(단순 무한 군은 생성자 집합을 수정하면 유한 팰린드롬 폭를 갖는다)를 조합하여 도출되며, 여기서 BCW를 이용해 모든 생성자 집합으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 분지군, 특히 그리고치크 군에서 공轭 성장 함수의 渐近 성장률은 어떻게 되는가?
• RQ2 어떤 조건에서 분지군이 유계 공轭 폭(즉, 모든 원소가 생성자의 공액을 일정한 상한 이내로 곱한 것으로 표현 가능한 성질)을 갖는가?
• RQ3 유계 공轭 폭은 유한 공액 폭 및 단순 무한 성질과 같은 다른 대수적 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 그리고치크 군은 모든 유한 생성자 집합에 대해 유한 팰린드롬 폭을 갖는가?
• RQ5 유계 공轭 폭을 이용해 비-인volution 생성자를 갖는 군에서 팰린드롬 폭 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• d-정규 뿌리가 있는 트리 위에서 작용하는 유한 생성 정규 분지군의 공轭 성장 함수는 어떤 $ 0 < \tau < 1 $에 대해 $ e^{n^{\tau}} $보다 작지 않게 하한이 둔다. 이는 중간 성장률이다.
• 단순 무한 분지군이 유한 공액 폭을 가지며 뿌리 원소를 포함하는 경우, 모든 원소는 생성자의 공액을 최대 $ M + C \cdot T $개 이내로 곱하여 표현할 수 있다. 여기서 $ M $, $ C $, $ T $는 군에 따라 정해지는 상수이다.
• 그리고치크 군은 BCW의 주요 정리 조건을 만족하므로, 유계 공轭 폭을 갖는다.
• 그리고치크 군은 유계 공轭 폭과 단순 무한 군에 대한 기존 결과에 기반하여, 모든 유한 생성자 집합에 대해 유한 팰린드롬 폭을 갖는다.
• 논문은 비-단순 무한 분지군에서 BCW가 성립하지 않는 반례를 제시하여, 단순 무한 조건이 필수적임을 보여준다.
• 컴퓨터 실험 결과는 그레치크 군의 공액 폭이 2일 수 있음을 시사하지만, 이는 아직 미해결이다.