[논문 리뷰] Connected Components of Hurwitz Schemes and Malle's Conjecture

Seyfi Türkelli|ArXiv.org|2008. 09. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 히르츠 방식을 통해 비기하학적으로 연결된 커버를 고려하여, 유한체 Fq(t) 위의 수체 확장의 차수 제한 판별식을 세는 데 있어 말레의 추측을 재수정한다. Fq-유리점에 대한 히ュ리스티크를 사용하여, Fq(t) 위의 N-확장의 점 渐近 행동이 정규부분군 G 중 a(G) = a(N)인 것들에 대해 b(G,N,Fq)의 최댓값에 의해 결정됨을 보이며, 클룬어의 반례를 해결하고 아벨 군 및 함수체에 대한 기존 결과와 일치시킨다.

ABSTRACT

Let Z(X) be the number of degree-d extensions of F_q(t) with bounded discriminant and some specified Galois group. The problem of computing Z(X) can be related to a problem of counting F_q-rational points on certain Hurwitz spaces. Ellenberg and Venkatesh used this idea to develop a heuristic for the asymptotic behavior of Z'(X), the number of -geometrically connected- extensions, and showed that this agrees with the conjectures of Malle for function fields. We extend Ellenberg-Venkatesh's argument to handle the more complicated case of covers of P^1 which may not be geometrically connected, and show thatthe resulting heuristic suggests a natural modification to Malle's conjecture which avoids the counterexamples, due to Klüners, to the original conjecture.

연구 동기 및 목표

• 함수체 설정에서 클룬어의 반례와 같은 Malle의 추측의 반례를 해결하기 위해.
• 기하학적으로 연결된 커버에 대한 엘렌버그-벤카테슈의 히ュ리스티크를 비기하학적으로 연결된 커버로 확장하기 위해.
• 최대 상수 부분확장이 포함된 Fq(t) 위의 N-확장 수에 대한 수정된 점 渐近 공식을 제안하기 위해.
• 비틀린 갈루아 작용과 원분 제약 조건을 사용하여 수정된 추측을 수체로 일반화하기 위해.
• 수정된 추측이 알려진 반례를 피하면서도, 아벨 군의 경우와 같이 라이트의 결과와 일치함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 기하학적으로 연결된 스킴 H의 차원 d에 대해 |H(Fq)| ≈ q^d 라는 히ュ리스티크를 사용하여, 히르츠 스킴 위의 Fq-유리점 수를 성분 수와 연결한다.
• 니엘센 튜플을 도입하여, 히르츠 스킴의 거의 기하학적으로 연결된 성분을 매개변수화하는 이산적 불변량을 제공한다.
• G ≤ N 이며 몐드 족 N/G 가 순환군인 정규부분군 G에 대응하는 성분을 분류한다.
• 최소 지수 원소의 공轭류 집합 위에서 갈루아군의 작용을 통해 히르츠 스킴의 차원과 기약 성분의 수를 계산한다.
• 비틀린 갈루아 작용 하에 G의 최소 지수 공轭류 집합 위에서 G(Fq)-오빗의 수로 b(G,N,Fq)를 정의한다.
• a(G) = a(N) 인 모든 G ≤ N 에 대해 b(G,N,Fq)의 최댓값을 취함으로써 수정된 추측을 제안하며, 이는 ZN(Fq(t),X)에 대한 수정된 점 渐近을 이끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클룬어의 반례와 같은 반례를 피하기 위해 Malle의 추측은 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ2 커버가 기하학적으로 연결되어 있지 않을 경우, Fq(t) 위의 N-확장 수에 대한 올바른 점 渐近은 무엇인가?
• RQ3 히르츠 스킴은 최대 상수 부분확장을 포함한 NG-커버를 어떻게 매개변수화하는가?
• RQ4 공轭류 집합 위 갈루아 작용이 점 渐近의 로그 인자 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 함수체에 대한 수정된 추측은 일관된 로그 지수 정의를 유지하면서 수체로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• N = C3 ≀ C2 ≤ S6 이고 q ≡ 2 mod 3 일 때, Fq(t) 위의 차수 제한 판별식을 가진 N-확장 수는 ≍ X^{1/2} log X 이며, 클룬어의 반례와 일치하며 수정된 추측을 확인한다.
• N = (C3 ≀ C3) × C2 ≤ S18 이고 q ≡ 2 mod 3 일 때, 점 渐近은 ≍ X^{1/4} 이며, 수정된 추측과 일치하며 반례를 해결한다.
• 수정된 추측은 a(G) = a(N) 이며 몫군 N/G 가 순환군인 모든 정규부분군 G ≤ N 에 대해 b(G,N,Fq)의 최댓값을 취함으로써, 원래 Malle 추측을 수정한다.
• 수체에 대한 수정된 추측은 공轭류 집합 위에서 비틀린 갈루아 작용을 통해 b(G,N,k)를 정의하며, b(N,k)는 a(G) = a(N) 인 모든 G에 대해 최댓값을 취한다.
• 결과적으로 아벨 군 N 에 대해 상수 부분확장을 포함하지 않는 확장의 수가 지배적이며, 그러한 G 가 로그 인자를 증가시키지 않을 경우 수정된 추측은 Malle의 원래 형태로 축소된다.
• 이 방법은 알려진 반례를 성공적으로 제거하면서도, 아벨 군 및 Q 위의 S3, S4, S5 와 같은 알려진 사례와 일치함을 보였다.