[논문 리뷰] Connecting Constructive Notions of Ordinals in Homotopy Type Theory

Nicolai Kraus, Fredrik Nordvall Forsberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 28인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 유형 이론에서 세 가지 구성적 순서수 개념을 연결한다: 캔터 정규형(Cnf), 브루어 트리(Brw), 그리고 확장적 잘서수된 순서(Ord). Cnf에서 Brw로, 그리고 Brw에서 Ord로의 구조를 유지하는 임베딩을 수립하여, 이 세 형식 체계가 잘서수된, 확장적인 순서와 산술 연산을 모두 지원하며, 그 기초에서 결정 가능성이 감소하는 것을 보여준다. 주요 기여는 큐빅 Agda에서 형식화된 순서수 표현의 계층적 체계로, 이들이 통합된 공리 체계 아래에서 일관됨을 보여준다.

ABSTRACT

In classical set theory, there are many equivalent ways to introduce ordinals. In a constructive setting, however, the different notions split apart, with different advantages and disadvantages for each. We consider three different notions of ordinals in homotopy type theory, and show how they relate to each other: A notation system based on Cantor normal forms, a refined notion of Brouwer trees (inductively generated by zero, successor and countable limits), and wellfounded extensional orders. For Cantor normal forms, most properties are decidable, whereas for wellfounded extensional transitive orders, most are undecidable. Formulations for Brouwer trees are usually partially decidable. We demonstrate that all three notions have properties expected of ordinals: their order relations, although defined differently in each case, are all extensional and wellfounded, and the usual arithmetic operations can be defined in each case. We connect these notions by constructing structure preserving embeddings of Cantor normal forms into Brouwer trees, and of these in turn into wellfounded extensional orders. We have formalised most of our results in cubical Agda.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 유형 이론에서 세 가지 서로 다른 구성적 순서수 개념인 캔터 정규형, 브루어 트리, 확장적 잘서수된 순서를 통합하기.
• 이 개념들이 순서수로서 기대되는 핵심 성질, 예를 들어 확장성과 잘서수성 등을 만족하는지 확인하기.
• 더 단순한 순서수 표현에서 더 복잡한 표현으로의 충실하고 구조를 유지하는 임베딩을 구축하여, 이들이 동일한 공리 체계 아래에서 일관됨을 보여주기.
• 세 형식 체계 간의 결정 가능성의 상충 관계를 분석하여, 특히 등식, 순서, 산술 연산에 관해 분석하기.
• 모든 결과를 큐빅 Agda에서 형식화하여, 증명 보조도구에서 구성적 순서수 산술의 검증된 기초를 제공하기.

제안 방법

• 캔터 정규형에서 산술 연산을 정의하고, 순서수에 대한 추상적 공리 체계를 통해 그 정당성을 증명하기.
• 영, 후속자, 그리고 가산 수열에 대한 상한 생성자를 사용하여, 고차 유형을 활용해 충실도를 보장하는 인도크티브 유형으로서의 브루어 트리를 도입하기.
• 순서와 산술 연산을 유지하는 임베딩 CtoB : Cnf → Brw를 구성하여, Cnf가 Brw에 충실하게 통합됨을 보여주기.
• BtoO(a) = Σ(y : Brw).(y < a)로 정의된 임베딩 BtoO : Brw → Ord를 정의하고, 이것이 단사적이고 순서를 유지하며 임베딩임을 증명하기.
• 배제의 법칙 하에서 BtoO가 시뮬레이션임을 증명하고, 이 가정이 실패할 경우 WLPO와 연결됨을 통해 이것이 필수적임을 보여주기.
• 모든 결과를 큐빅 Agda에서 형식화하여, 고차 유형과 무게론의 원리 지원을 활용해 구축을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구성적 환경에서 캔터 정규형, 브루어 트리, 확장적 잘서수된 순서 체계 간에 등식, 순서, 산술 연산의 결정 가능성은 어떻게 비교될 수 있는가?
• RQ2 캔터 정규형에서 브루어 트리로의 충실하고 구조를 유지하는 임베딩을 구성할 수 있으며, 이는 산술 연산을 유지하는가?
• RQ3 브루어 트리에서 확장적 잘서수된 순서로의 임베딩이 시뮬레이션인가? 이를 성립시키기 위해 필요한 기본 원리는 무엇인가?
• RQ4 세 순서수 형식 체계가 호모토피 유형 이론에서 전통적인 순서수 공리, 예를 들어 확장성과 잘서수성 등을 어느 정도 만족하는가?
• RQ5 유형 이론의 증명 이론적 강도와 그가 표현할 수 있는 순서수 간의 관계는 무엇인가? 특히 고차 유형과 인도크티브-귀납적 정의와의 관련성은 무엇인가?

주요 결과

• 임베딩 CtoB : Cnf → Brw는 순서와 산술 연산을 유지하며 단사적이며, 캔터 정규형이 브루어 트리에 충실하게 통합됨을 보여준다.
• 함수 BtoO : Brw → Ord는 단사적이고 순서를 유지하는 임베딩으로, 각 브루어 트리를 그 아래집합으로 매핑하여 순서 구조를 유지한다.
• 배제의 법칙 하에서 BtoO는 시뮬레이션이다. 그러나 이는 구성적으로 실패하며, BtoO가 시뮬레이션임을 가정하면 WLPO가 도출되므로, 이는 구성적 금기로 알려진 원리임을 보여준다.
• BtoO는 후속 연산을 충실하게 유지하지 못한다: BtoO(succ x) ≥ BtoO x ⊎1이며, 반대 부등식이 성립하면 WLPO가 도출되므로 산술 연산에 대한 과대 근사가 발생한다.
• Brw에서 (ω ≤ _)는 결정 가능하지만, (ω < _)는 WLPO가 성립할 경우에만 결정 가능하며, 이는 계층 내에서의 결정 가능성 상충 관계를 드러낸다.
• 큐빅 Agda에서의 형식화는 모든 구축의 정확성을 확인하였으며, BtoO의 순서 유지성과 Cnf의 산술 일致성과 같은 핵심 결과들이 검증되었다.