[논문 리뷰] Connecting Knowledge Compilation Classes and Width Parameters

Antoine Amarilli, Florent Capelli외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 07.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 24인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 지식 컴파일 클래스와 부울 회로의 구조적 폭 매개변수 사이의 밀접한 연결을 확립하며, 유계-트리폭 회로가 트리폭에 대해 단일 지수적 의존성을 가지며 선형 시간에 d-SDNNFs로 컴파일될 수 있음을 보이고, 유계-경로폭 회로가 동일한 복잡도로 uOBDDs로 컴파일됨을 보여준다. 또한 하한을 증명하며, 상수의 항목 수와 차수를 가진 단조 DNF 및 CNF는 각각 트리폭과 경로폭에 대해 지수적으로 큰 d-SDNNFs 및 uOBDDs를 요구함을 보이며, 이러한 폭 매개변수들이 이 클래스들로의 컴파일 가능성 정확히 특징짓는다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The field of knowledge compilation establishes the tractability of many tasks by studying how to compile them to Boolean circuit classes obeying some requirements such as structuredness, decomposability, and determinism. However, in other settings such as intensional query evaluation on databases, we obtain Boolean circuits that satisfy some width bounds, e.g., they have bounded treewidth or pathwidth. In this work, we give a systematic picture of many circuit classes considered in knowledge compilation and show how they can be systematically connected to width measures, through upper and lower bounds. Our upper bounds show that bounded-treewidth circuits can be constructively converted to d-SDNNFs, in time linear in the circuit size and singly exponential in the treewidth; and that bounded-pathwidth circuits can similarly be converted to uOBDDs. We show matching lower bounds on the compilation of monotone DNF or CNF formulas to structured targets, assuming a constant bound on the arity (size of clauses) and degree (number of occurrences of each variable): any d-SDNNF (resp., SDNNF) for such a DNF (resp., CNF) must be of exponential size in its treewidth, and the same holds for uOBDDs (resp., n-OBDDs) when considering pathwidth. Unlike most previous work, our bounds apply to any formula of this class, not just a well-chosen family. Hence, we show that pathwidth and treewidth respectively characterize the efficiency of compiling monotone DNFs to uOBDDs and d-SDNNFs with compilation being singly exponential in the corresponding width parameter. We also show that our lower bounds on CNFs extend to unstructured compilation targets, with an exponential lower bound in the treewidth (resp., pathwidth) when compiling monotone CNFs of constant arity and degree to DNNFs (resp., nFBDDs).

연구 동기 및 목표

• 지식 컴파일 클래스를 트리폭 및 경로폭과 같은 구조적 폭 측도와 체계적으로 연결하기 위해.
• 데이터베이스 쿼리 평가 및 확률적 추론에 사용되는 폭 기반 회로 클래스와 지식 컴파일 간의 격차를 메우기 위해.
• 트리폭과 경로폭이 단조 DNF 및 CNF를 구조화된 타깃으로 컴파일하는 데 있어 단지 처리 가능 매개변수를 넘어서 최적임을 보여주기 위해.
• 컴파일 복잡도에 대해 상한과 하한을 엄밀하게 설정하여, 항목 수와 차수가 상수일 경우 폭에 대한 지수적 의존성이 피할 수 없다는 것을 보여주기 위해.
• 이러한 결과를 DNNFs 및 nFBDDs와 같은 비구조적 컴파일 타깃으로 확장하여, 유사한 지수하한을 증명하기 위해.

제안 방법

• 12개의 지식 컴파일 클래스를 삼중 축(연결 유형: BDD 대 회로, 구조화 여부: 구조화된 대 비구조화된, 결정성: 결정성 대 모호하지 않은 대 임의의 논리합)에 따라 체계적으로 분류한다.
• 유계-트리폭 회로를 d-SDNNFs로 변환하는 구축형 컴파일 방법을 제안하며, 이는 회로 크기에 대해 선형 시간이고 트리폭에 대해 단일 지수적 의존성을 가진다.
• 유사한 컴파일 기법을 사용하여 유계-경로폭 회로를 동일한 복잡도 한계로 uOBDDs로 변환한다.
• 트레이스 분해와 게이트 분할을 기반으로 한 직사각형 커버 추론을 통해 컴파일된 표현의 크기에 대한 하한을 유도한다.
• DNNF 및 OBDD 회로의 트레이스에서 중요한 게이트를 식별하기 위해 트리스플릿폭 매개변수를 도입하며, 이는 지수하한 유도에 기여한다.
• 확률적 방법과 직사각형 커버에 대한 조합적 경계를 적용하여, 필요한 직사각형 수가 폭 매개변수에 따라 지수적으로 증가함을 보이며, 이는 회로 크기에 대한 지수하한을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계-트리폭 회로는 회로 크기에 대해 선형 복잡도와 트리폭에 대해 단일 지수적 의존성을 가지며 d-SDNNFs로 컴파일될 수 있는가?
• RQ2 항목 수와 차수가 상수일 경우, 단조 DNF를 d-SDNNFs로 컴파일할 때 트리폭에 대한 지수적 의존성이 피할 수 없는가?
• RQ3 경로폭과 트리폭이 각각 단조 DNF 및 CNF에 대해 uOBDDs와 d-SDNNFs의 크기를 정확히 특징짓는가?
• RQ4 동일한 하한 기법을 DNNFs 및 nFBDDs와 같은 비구조적 컴파일 타깃으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 트리폭을 초월하여 단조 DNF를 비구조적 d-DNNFs로 컴파일하는 데 있어 최소 복잡도를 캡처하는 폭 매개변수가 존재하는가?

주요 결과

• 유계-트리폭 회로는 회로 크기에 대해 선형 시간이고 트리폭에 대해 단일 지수적 의존성을 가지며 d-SDNNFs로 컴파일될 수 있으며, 이는 엄밀한 상한을 확립한다.
• 유계-경로폭 회로는 회로 크기에 대해 선형 시간이고 경로폭에 대해 단일 지수적 의존성을 가지며 uOBDDs로 컴파일될 수 있다.
• 항목 수와 차수가 상수인 단조 DNF(또는 CNF)에 대해 d-SDNNF(또는 SDNNF)는 반드시 크기가 2^Ω(tw(φ)) (또는 2^Ω(pw(φ))) 이상이어야 하며, 이는 일치하는 하한을 증명한다.
• 항목 수와 차수가 상수인 단조 DNF(또는 CNF)를 컴파일할 때 uOBDDs(또는 n-OBDDs)의 경우에도 동일한 지수하한이 성립한다.
• 비구조적 타깃인 DNNFs 및 nFBDDs의 경우에도 항목 수와 차수가 상수인 단조 CNF에 대해 각각 트리폭과 경로폭에 대해 지수적 크기가 필요함을 보여준다.
• 하한은 트리스플릿폭과 만족할 수 있는 할당에 대한 확률적 경계를 사용한 직사각형 커버 추론을 통해 확립되며, 이러한 표현이 반드시 지수적으로 크기 커져야 함을 보여준다.