[논문 리뷰] Connection with parallel totally skew-symmetric torsion on almost complex manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 노르덴 계량을 지닌 거의 복소다양체 위에 평행하고 완전히 비대칭 토퍼션을 가진 선형 접속에 대해 연구한다. 이러한 접속이 켈러 곡률 텐서를 가질 조건은 다름아니라 다수의 다양체가 노르덴 계량을 지닌 등방성 켈러 다양체일 때이며, 이 경우 접속과 리만-레비치비타 접속의 스칼라 곡률이 정확히 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

In the present work we consider an almost complex manifold with Norden metric (i.e. a metric with respect to which the almost complex structure is an antiisometry). On such a manifold we study a linear connection preserving the almost complex structure and the metric and having a totally skew-symmetric torsion tensor. We consider the case when the manifold admits a connection with parallel totally skew-symmetric torsion and the case when such connection has a Kaehler curvature tensor. We get necessary and sufficient conditions for an isotropic Kaehler manifold with Norden metric.

연구 동기 및 목표

• 노르덴 계량을 지닌 거의 복소다양체 위에 평행하고 완전히 비대칭 토퍼션을 가진 선형 접속을 연구한다.
• 이러한 접속이 켈러 곡률 텐서를 가질 수 있는 필요 및 충분 조건을 규명한다.
• 이 접속과 리만-레비치비타 접속의 스칼라 곡률 간의 관계를 명확히 한다.
• 곡률 및 토퍼션 성질에 기반해 등방성 켈러 다양체를 노르덴 계량을 지닌 것으로 특성화한다.

제안 방법

• 완전히 비대칭 토퍼션 텐서 T와 평행 조건 ∇′T = 0을 가진 선형 접속 ∇′을 도입한다.
• ∇′에 대한 곡률 텐서 공식 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + 2g(Q(x,y),Q(z,w)) − g(Q(x,z),Q(y,w)) + g(Q(y,z),Q(x,w)) 를 사용한다.
• 첫 번째 비앙키 항등식과 켈러 텐서 조건을 적용하여 필요 및 충분 조건 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 을 유도한다.
• 거의 복소다양체 구조에 따라 곡률 성분을 연결하기 위해 항등식 Q(Jx,Jy) = −Q(x,y) − (∇JxJ)y − (∇yJ)Jx 를 활용한다.
• 곡률 텐서에 대한 추적 수축을 수행하여 스칼라 곡률 τ와 τ** 를 ∥∇J∥² 의 노름과 연결한다.
• 기존의 [6] 및 [5]의 항등식을 활용하여 τ** + τ = −1/8∥∇J∥² 와 τ** + τ = −1/2∥∇J∥² 를 유도하고, 이로부터 ∥∇J∥² = 0 을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 quasi-켈러 다양체 위에 평행하고 완전히 비대칭 토퍼션을 가진 접속이 켈러 곡률 텐서를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 접속 ∇′ 과 리만-레비치비타 접속 ∇ 의 스칼라 곡률이 일치하는 조건은 언제인가?
• RQ3 ∇′ 의 켈러 곡률 텐서와 니젠후이스 텐서의 등방성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 평행하고 완전히 비대칭 토퍼션을 가진 접속이 켈러 곡률을 가질 경우, 그 다양체가 등방성 켈러 다양체임을 의미하는가?
• RQ5 켈러 곡률 조건 하에서 곡률 성분 R(x,y,z,w) 와 R(x,y,Jz,Jw) 는 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 평행하고 완전히 비대칭 토퍼션을 가진 접속 ∇′ 이 켈러 곡률 텐서를 가질 조건은 순환 합 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 이 성립할 때이다.
• 켈러 조건이 만족될 경우 곡률 텐서는 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + g(Q(x,y),Q(z,w)) 로 단순화된다.
• ∇′ 과 리만-레비치비타 접속 ∇ 의 스칼라 곡률이 일치할 조건은 다름아니라 다양체가 노르덴 계량을 지닌 등방성 켈러 다양체일 때이다.
• ∇′ 이 평행한 토퍼션과 함께 켈러 곡률 텐서를 가질 경우, 다양체는 반드시 등방성 켈러 다양체이자 노르덴 계량을 지닌다.
• τ** + τ = −1/8∥∇J∥² 와 τ** + τ = −1/2∥∇J∥² 가 동시에 성립하면 ∥∇J∥² = 0 이 되며, 이는 다양체가 등방성 켈러 다양체임을 증명한다.
• 다양체가 노르덴 계량을 지닌 등방성 켈러 다양체일 조건은 ∇′ 과 ∇ 의 스칼라 곡률이 정확히 일치할 때이다.