[논문 리뷰] Connections in holomorphic Lie algebroids

Alexandru D. Ionescu, Gheorghe Munteanu|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 26.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 라그랑주 구조와 연장 기하학을 통해 복소 미분형 리 대수다발에서의 접속을 분석함으로써, 복소 미분형 리 대수다발의 접속을 연구한다. 특히, $T^{\tiny\bullet}E$와 그 연장 $Τ^{\tiny\bullet}E$를 분석하여 복소 라그랑주 함수를 통해 자연스러운 스프레이나를 정의하고, $E$에서의 체른-라그랑주 접속을 통해 $T^{\tiny\bullet}M$에 유도된 비선형 접속을 도출한다. 주요 기여는 $E$의 라그랑주 구조로부터 $T^{\tiny\bullet}M$에 대한 유도된 비선형 접속을 구성하는 것으로, 접속 계수와 적합한 기저의 명시적 공식을 제공한다.

ABSTRACT

The main purpose of this note is the study of the total space of a holomorphic Lie algebroid $E$. The paper is structured in three parts. In the first section we briefly introduce basic notions on holomorphic Lie algebroids. The local expressions are written and the complexified holomorphic bundle is introduced. The second section is a little broader and includes two approaches to study the geometry of complex manifold $E.$ The first part contains the study of the tangent bundle $T_{C}E=T^{\prime }E\oplus T^{\prime \prime }E$ and its link, via tangent anchor map, with the complexified tangent bundle $% T_{C}(T^{\prime }M)=T^{\prime }(T^{\prime }M)\oplus T^{\prime \prime }(T^{\prime }M).$ A holomorphic Lie algebroid structure has been emphasized on $T^{\prime }E.$ A special study is made for integral curves of a spray on $% T^{\prime }E.$ Theorem 2.1 gives the coefficients of a spray, called canonical, according to a complex Lagrangian on $T^{\prime }E.$ In the second part of section two we study the prolongation $\mathcal{T}% ^{\prime }E$ of $E imes T^{\prime }E$ algebroid structure. In the third section we study how a complex Lagrange (Finsler) structure on $T^{\prime }M$ induces a Lagrangian structure on $E.$ Three particular cases are analyzed by the rank of anchor map, the dimensions of manifold $M$ and the fibre dimension. We obtain the correspondent on $E$ of the well-known (\cite{Mu}) Chern-Lagrange nonlinear connection from $T^{\prime }M$.

연구 동기 및 목표

• 실수 리 대수다발 기하학을 복소 설정으로 일반화하고, 특히 접속 및 연장 기하학적 구조에 중점을 둔다.
• 복소 라그랑주 함수를 사용하여 $T^{\tiny\bullet}E$에서 자연스러운 스프레인을 정의하고, 복소 리 대수다발에 대한 변분 원리를 확장한다.
• 앵커 사상과 유도된 좌표를 통해 $E$에서의 비선형 접속과 $T^{\tiny\bullet}M$에서의 비선형 접속 간의 대응 관계를 수립한다.
• $T^{\tiny\bullet}M$에서의 라그랑주 구조가 연장 $Τ^{\tiny\bullet}E$에서의 라그랑주 구조와 비선형 접속을 어떻게 유도하는지 조사한다.
• 체른-라그랑주 비선형 접속이 $E$에서의 라그랑주 구조로부터 유도된 접속으로서 나타남을 증명한다.

제안 방법

• 복소 앵커 사상 $\rho: E \to T^\prime M$를 통해 복소 미분형 리 대수다발을 정의하고, $T^\prime M$의 복소 브라켓의 역상에 의한 $\Gamma(E)$ 위의 리 브라켓을 정의한다.
• 접속 $T^\prime E$를 복소 미분형 리 대수다발로 정의하고, $T^\prime E$ 위의 비선형 접속에 적합한 복소 선형 접속을 구성한다.
• 정칙 복소 라그랑주 함수 $L^\ast$를 이용한 변분 원리로부터 $T^\prime E$ 위의 자연스러운 스프레인 계수를 유도하며, 공식 $N_h^k(z,\eta) = \rho_\alpha^k N_h^\alpha(z,u) - u^\alpha \partial \rho_\alpha^k / \partial z^h$ 를 사용한다.
• $E$의 연장 $Τ^{\tiny\bullet}E$를 복소 미분형 대수다발로 구성하고, 비선형 접속을 유도하기 위해 거의 접선 구조와 리우빌 텐서를 정의한다.
• 앵커 사상의 완전한 상승을 사용하여 $E$의 기하학과 $T^\prime M$의 기하학을 연결하고, $\delta^\ast \eta^k = \rho_\alpha^k \delta u^\alpha$를 통해 적합한 기저와 쌍기저를 정의한다.
• 좌표 변환 $\eta^k = \rho_\alpha^k u^\alpha$를 통해 $T^\prime E$ 위의 비선형 접속과 $T^\prime M$ 위의 유도된 접속 간의 동치성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 미분형 리 대수다발 $E$의 기하학은 비선형 접속과 복소 라그랑주 함수를 통해 어떻게 선형화될 수 있는가?
• RQ2 정칙 복소 라그랑주 함수로부터 도출된 $T^\prime E$ 위의 자연스러운 스프레인의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 앵커 사상을 통해 $E$에서의 비선형 접속이 $T^\prime M$에서의 비선형 접속으로 어떻게 유도되는가?
• RQ4 체른-라그랑주 비선형 접속이 $E$에서의 라그랑주 함수로부터 유도된 접속으로서 얻어질 수 있는가?
• RQ5 적합한 기저 사이의 관계는 $T^\prime E$와 $T^\prime M$ 사이에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 자연스러운 스프레인의 계수는 복소 라그랑주 함수 $L^\ast$에 의해 완전히 결정되며, $N_h^k(z,\eta) = \rho_\alpha^k N_h^\alpha(z,u) - u^\alpha \partial \rho_\alpha^k / \partial z^h$ 로 주어진다.
• 유도된 비선형 접속은 $\delta^\ast \eta^k = \rho_\alpha^k \delta u^\alpha$ 를 만족하여 $E$와 $T^\prime M$의 기하학 간의 호환성을 보장한다.
• 적합한 기저는 $\frac{\delta}{\delta z^k} = \frac{\delta^\ast}{\delta z^k}$ 와 $\frac{\partial}{\partial \eta^k} = \frac{\partial^\ast}{\partial v^k}$ 로 주어지며, 여기서 $v^k = \rho_\alpha^k u^\alpha$ 이다.
• $T^\prime M$ 위의 계량 텐서 $g_{i\bar{j}}(z,\eta)$ 는 $E$의 계량 텐서의 역상으로 주어지며, $g_{i\bar{j}}(z,\eta) = \left(g_{i\bar{j}}(z,u)\right)^\ast = \frac{\partial^2 L^\ast}{\partial \eta^i \partial \bar{\eta}^j}$ 로 표현된다.
• 체른-라그랑주 비선형 접속은 $E$에서의 체른-라그랑주 접속이 앵커 사상에 의해 유도됨을 보여주는 Proposition 3.6에 의해 확인된다.
• $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ 위의 비선형 접속은 Theorem 2.2를 통해 $\mathcal{T}^{\tiny\bullet}E$ 위의 스프레인으로부터 도출되며, $T^\prime M$에 유도된 접속은 고전적 체른-라그랑주 접속과 일치한다.