[논문 리뷰] Connections under Symplectic Reduction

Izu Vaisman|ArXiv.org|2000. 06. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 군 작용을 가진 심플렉틱 다양체 위의 심플렉틱 접속이 마르스딘-웨인스타인 축소 다양체로 내림내림되는 조건을 설정한다. 만약 순간 맵의 수준집합이 접속에 대해 자기 평행이고 군 작용이 애깃형이면, 접속은 유일하게 축소된 공간으로 내림내림되며, 유도된 심플렉틱 구조와의 호환성을 유지한다. 이 결과는 특성 분할 위의 프로젝터블 접속을 통해 예심플렉틱 다양체로 확장된다.

ABSTRACT

In this note we give conditions which ensure the reduction of a symplectic connection in the process of a Marsden-Weinstein reduction and of the reduction of a presymplectic manifold.

연구 동기 및 목표

• 해밀턴 군 작용을 가진 심플렉틱 다양체 (M, ω) 위의 심플렉틱 접속이 마르스딘-웨인스타인 축소 다양체로 내림내림되는 조건을 규명하는 것.
• 주어진 심플렉틱 접속에 대해 순간 맵의 수준집합이 자기 평행가 되는 조건을 특성화하는 것.
• 예심플렉틱 다양체에 대해 특성 분할에 대해 프로젝터블 접속을 분석함으로써 축소 프레임워크를 확장하는 것.
• 예심플렉틱 접속의 존재성과 그들이 특성 분할에 대해 프로젝터블이 되는 조건을 확립하는 것.
• 접속의 내림내림을 보장하는 기하학적 및 대수적 조건—예를 들어 애깃형 순간 맵과 아티야 클래스의 영인 것—을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 심플렉틱 다양체 (M, ω) 위에 해밀턴 G-작용과 등변 순간 맵 J: M → g*를 가진 심플렉틱 접속 ∇를 정의한다.
• 군 작용이 접속 ∇를 보존하는 조건인 Φg*(∇XY) = ∇Φg*X(Φg*Y)를 만족할 때, 이를 애깃형 작용으로 정의한다.
• ∇-평행 이동이 접선다발 TC를 보존하는 자기 평행 부분다양체 C = J⁻¹(ξ)를 정의한다.
• C 위의 G-불변 벡터장 X, Y에 대해, 몫사상 π: C → N = C/Gξ를 통해 축소된 접속 ∇′을 ∇′X̃Ỹ = π*(∇XY)로 구성한다.
• ∇′의 잘 정의성을 확보하기 위해, 특성 분포 Tℐ = (TC)⊥ω ∩ TC에 속하는 벡터장의 덧셈에 대한 불변성을 검증한다. 이는 비틀림이 없고 심플렉틱하기 때문에 ∇에 의해 보존된다.
• 예심플렉틱 다양체의 경우, 가로 방향 분포 S 위에서 보틀 유형의 접속 ∇를 구성하고, 보정 텐서 Θ를 만족시키는 조건 ω(Θ(X′,Y′),Z′) = ½(DX′ω)(Y′,Z′)를 통해 ∇ω = 0를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴 G-작용을 가진 심플렉틱 다양체 (M, ω) 위의 심플렉틱 접속 ∇이 마르스딘-웨인스타인 축소 다양체 N = C/Gξ로 내림내림되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 주어진 심플렉틱 접속 ∇에 대해 수준집합 C = J⁻¹(ξ)가 언제 자기 평행가 되는가?
• RQ3 특성 분할 ℐ에 대해 예심플렉틱 다양체 (M, ω) 위에서 프로젝터블 예심플렉틱 접속이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 특성 분할 ℐ의 아티야 클래스는 정규다발 위의 프로젝터블 접속 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 순간 맵의 애깃형 성질이 수준집합의 자기 평행성과 접속의 내림내림을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 해밀턴 G-작용이 애깃형이고, 정규값 ξ ∈ g*에서 수준집합 C = J⁻¹(ξ)가 자기 평행인 심플렉틱 다양체 (M, ω) 위의 심플렉틱 접속 ∇는 축소 다양체 N = C/Gξ 위에 고유한 심플렉틱 접속 ∇′을 유도한다.
• 유도된 접속 ∇′은 특성 분할 ℐ = (TC)⊥ω ∩ TC 가 ∇에 의해 보존되며, 군 작용이 애깃형 조건을 통해 ∇를 보존하므로 잘 정의된다.
• 만약 순간 맵 J가 애깃형인 경우—즉, J가 일정한 경로의 ∇-수평 이송 동안 J*가 일정하다면—모든 정규값 ξ에 대해 C = J⁻¹(ξ)는 자기 평행가 된다.
• 모든 예심플렉틱 다양체 (M, ω)는 가로 방향 분포 S와 보정 텐서 Θ를 통해 구성된 예심플렉틱 접속을 가진다.
• 예심플렉틱 접속이 특성 분할 ℐ에 대해 프로젝터블이 되는 것은 정규다발 νℐ가 프로젝터블 접속을 가질 때이고, 이는 정확히 아티야 클래스가 영일 때 발생한다.
• 예심플렉틱 다양체 위에 구성된 접속 ∇의 비틀림은 I-값을 가지며, X′,Y′,Z′ ∈ ΓTS에 대해 ω(T∇(X′,Y′),Z′) = 0 조건이 성립하여 몫 위의 심플렉틱 구조와의 호환성을 보장한다.