[논문 리뷰] Connections up to homotopy and characteristic classes

Marius Crainic|ArXiv.org|2000. 10. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Z2-등급 벡터(bundle)에 대한 호모토피에 의한 접속을 사용하여 특성류의 일반화된 체른-바일 구성법을 제안하며, 고전적 체른 특성 이론을 비평탄성 및 비선형 설정으로 확장한다. 내재된 특성류가 리 대수다발과 파울슨 다양체의 고정된 표현에 대한 체른 특성으로 나타남을 보여주며, 그 기원에 대한 추측을 해결하고 고전적 평탄한 경우를 초월한 새로운 불변량을 도출한다.

ABSTRACT

In this note we clarify the relevance of ``connections up to homotopy'' to the theory of characteristic classes. We have already remarked \cite{Crai} that such connections up to homotopy can be used to compute the classical Chern characters. Here we present a slightly different argument for this, and then proceed with the discussion of the flat (secondary) characteristic classes. As an application, we clarify the relation between the two different approaches to characteristic classes of algebroids (and of Poisson manifolds in particular): we explain that the intrinsic characteristic classes are precisely the secondary classes of the adjoint representation.

연구 동기 및 목표

• 호모토피에 의한 접속이 리 대수다발과 파울슨 다양체의 특성류 계산에서 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.
• 고전적 체른 특성 구성법을 비평탄성 및 Z2-등급 벡터다발에 대한 비선형 접속으로 확장하기 위해.
• 파울슨 다양체의 페르난데스 내재 특성류가 호모토피에 의한 고정된 표현의 체른 특성으로 나타남을 보여주기 위해.
• 내재 특성류가 고정된 표현에서 유래한다는 추측을 해결하기 위해, 호모토피에 의한 접속을 통해 그들을 구성하기 위해.

제안 방법

• Z2-등급 슈퍼벡터다발에 대한 비선형 접속을 도입하며, 접속 형식에서 C∞(M)-선형성을 완화한다.
• 표준 공식과 곱법칙을 사용하여 비선형 접속의 곡률과 공변도를 정의하며, 딜람 복합체를 비선형 형식으로 확장한다.
• 곡률의 거듭제곱에 대한 슈퍼트레이스를 통해 비선형 체른 특성자를 구성한다: ch_p(∇) = Tr_s(k_∇^p) ∈ A_nl^{2p}(M).
• 표준 k-단체 위에서 접속의 애매한 조합을 통한 체른-시몬스 구성법을 적용한 후, 섬유에 따라 적분하여 특성류를 도출한다.
• End(E) 위에 유도된 접속과 비앙키 항등식 d_∇(k_∇) = 0을 사용하여 체른 형식의 폐쇄성을 확보한다.
• 이 구성법을 리 대수다발의 고정된 표현에 적용하여, 그 특성류가 파울슨 다양체의 내재 특성류와 일치함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평탄성이 없는 조건에서, 호모토피에 의한 표현에 대해 특성류를 정의할 수 있는가?
• RQ2 호모토피에 의한 접속은 벡터다발에 대한 고전적 체른-바일 이론을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 파울슨 다양체의 내재 특성류는 고정된 표현의 체른 특성으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 비평탄한 경우를 초월하여 비선형 접속이 특성류 계산에서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 체른-시몬스 구성법은 비선형 형식과 비선형 접속으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 체른 특성자 ch_p(∇) = Tr_s(k_∇^p)는 A_nl^{2p}(M)에 속하는 폐포형식이며, 비선형 및 비평탄한 설정으로 고전적 체른 특성자를 일반화한다.
• 체른-시몬스 구성법을 통해 정의된 특성류는 호모토피에 의한 접속의 선택에 관계없이 일정하다.
• 이전에 고정된 표현에서 기인한다고 추측되었던 파울슨 다양체의 내재 특성류는 실제로 호모토피에 의한 고정된 표현의 체른 특성으로 나타남을 입증하였다.
• 이 구성법은 고전적 평탄한 벡터다발 이론을 초월하여 비평탄한 Z2-등급 벡터다발에 대한 새로운 특성류를 도출한다.
• 정규 리 대수다발의 경우, 특성류는 u_{2p-1}^g = u_{2p-1}(K) - u_{2p-1}(ν)를 만족하며, 여기서 K와 ν는 보트 표현이다.
• 리 대수다발의 고정된 표현은 자연스럽게 호모토피에 의한 접속을 지닌다. 이는 일반화된 체른-바일 방법을 통해 그 특성류를 정의할 수 있음을 의미한다.