[논문 리뷰] Connective constants and height functions for Cayley graphs

Geoffrey Grimmett, Zhongyang Li|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 군의 카일리 그래프에 대해 연결 상수의 국소성을 입증하기 위해 군 높이 함수—일반화된, 조화적이고 선형 성장 성질을 갖는 주기적 차분을 가진 단조함수—를 도입한다. 군 높이 함수가 존재하는 것은 군이 특정 대수적 성질(결함과 관련된 성질)을 갖는 것과 필요충분 조건임을 증명하고, 이를 통해 연결 상수가 카일리 그래프의 국소 동형에 대해 연속적임을 보이며, 아벨 군, 해소 가능한 군, 자유 군을 포함한 광범위한 군 클래스로 국소성 정리를 확장한다.

ABSTRACT

The connective constant $μ$($G$) of an infinite transitive graph $G$ is the exponential growth rate of the number of self-avoiding walks from a given origin. In earlier work of Grimmett and Li, a locality theorem was proved for connective constants, namely, that the connective constants of two graphs are close in value whenever the graphs agree on a large ball around the origin. A condition of the theorem was that the graphs support so-called “unimodular graph height functions”. When the graphs are Cayley graphs of infinite, finitely generated groups, there is a special type of unimodular graph height function termed here a “$ extit{group}$ height function”. A necessary and sufficient condition for the existence of a group height function is presented, and may be applied in the context of the bridge constant, and of the locality of connective constants for Cayley graphs. Locality may thereby be established for a variety of infinite groups including those with strictly positive deficiency. It is proved that a large class of Cayley graphs support unimodular graph height functions, that are in addition $ extit{harmonic}$ on the graph. This implies, for example, the existence of unimodular graph height functions for the Cayley graphs of finitely generated solvable groups. It turns out that graphs with non-unimodular automorphism subgroups also possess graph height functions, but the resulting graph height functions need not be harmonic. Group height functions, as well as the graph height functions of the previous paragraph, are non-constant harmonic functions with linear growth and an additional property of having periodic differences. The existence of such functions on Cayley graphs is a topic of interest beyond their applications in the theory of self-avoiding walks.

연구 동기 및 목표

• 무한하고 유한 생성된 군의 카일리 그래프에 대해 연결 상수의 국소성을 확립한다.
• 특수한 단조함수인 군 높이 함수의 존재에 대한 필요충분 조건을 규명한다—이 함수는 조화적이고 선형 성장 성질을 갖는 단조함수이다.
• 핵심 군 클래스에서 이러한 높이 함수의 존재를 증명함으로써 연결 상수에 대한 국소성 정리를 카일리 그래프로 확장한다.
• 리우빌 성질과 무관하게 카일리 그래프에서 주기적 차분을 갖는 비상수 조화 함수의 구조와 존재성을 조사한다.
• 비단조함수 자동사상 군을 다루기 위해 몫 그래프와 모듈러 함수를 통해 그래프 높이 함수를 구성한다.

제안 방법

• 군의 이론적 구조에서 유도된 H-차분 불변성과 선형 성장을 갖는 단조함수인 군 높이 함수의 개념을 도입한다.
• 군이 군 높이 함수를 갖는 것은, 교환자 부분군을 포함하는 커널을 갖는 Z로의 준동형사상이 존재하고, 결함 조건을 만족할 때에 한하여 필요충분 조건임을 증명한다 (정리 4.1).
• 기본 함수 ψ에서 시작하여 반복적 구성법을 통해 조화적이고 H-차분 불변인 함수를 구축한다. 이 함수는 모든 궤도 점에서 증가하도록 보장한다.
• 비단조함수 군의 경우, 안정자 생성 정규부분군 S에 대해 몫 그래프 G′ = G/S를 구성하고, G′에서의 높이 함수를 G로 올린다.
• 모듈러 함수 M(v) = |Stab_vw| / |Stab_wv| 를 사용해 궤도 위에 비상수 가중치 함수 M을 정의하고, 이를 몫 그래프에서의 높이 함수를 구성하는 데 활용한다.
• 올린 함수 ψ(v) = ψ′(Sv) 가 G 위의 그래프 높이 함수임을 증명하고, 비단조함수 경우에 조화적이지 않을 수 있음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 군에 대해 그 카일리 그래프가 군 높이 함수를 갖는 데 필요한 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ2 조화적이고 단조함수인 그래프 높이 함수를 사용하여 연결 상수에 대한 국소성 정리를 카일리 그래프로 확장할 수 있는가?
• RQ3 주기적 차분을 갖는 조화 함수의 존재성과 기저 군의 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비단조함수 자동사상 군의 경우 그래프 높이 함수는 어떻게 구성할 수 있으며, 조화성을 유지하는가?
• RQ5 비단조함수 카일리 그래프에서 모듈러 함수는 높이 함수를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 카일리 그래프에서 군 높이 함수가 존재하는 것은 군이 Z로의 준동형사상이 존재하고, 커널이 교환자 부분군을 포함하며, 결함이 최소 1 이상이어야 한다는 필요충분 조건이다 (정리 4.1).
• 연결 상수는 국소적으로 안정적이다: 두 카일리 그래프가 항등원을 중심으로 큰 구역에서 일치하면, 그들의 연결 상수는 가까워지며, 이는 단조함수 그래프 높이 함수가 존재할 경우에 한하여 성립한다.
• 모든 무한하고 유한 생성된 자유 해소 가능한 군과 자유 노름 군은 군 높이 함수를 갖으며, 따라서 국소성 조건을 만족한다.
• 해소 가능한 군에 대해 거의 모든 카일리 그래프가 조화적이고 선형 성장을 갖는 단조함수 그래프 높이 함수를 갖는다.
• 비단조함수 자동사상 군의 경우, 몫 그래프를 통해 그래프 높이 함수를 구성할 수 있지만, 조화적이지 않을 수 있다. 이는 조상 그래프 예시에서 확인된다.
• 구성 과정은 몫 그래프 G′에서 조화적이고 단조함수인 그래프 높이 함수를 얻으며, 이는 원래 그래프 G로 올려져 그래프 높이 함수가 되지만, 조화성이 유지되지 않을 수 있다.